Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{x^{3} - 2 x^{2} + x} d x d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore a fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3} - 2 x^{2} + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} - 2 x^{2} + x}$

Etapa 1.1.1.1.2

Fatore $x$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x}$

Etapa 1.1.1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x^{1}}$

Etapa 1.1.1.1.4

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.1.5

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$\frac{1}{x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.1.6

Fatore $x$ de $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 1$ .

$\frac{1}{x (x^{2} - 2 x + 1)}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{x (x^{2} - 2 x + 1^{2})}$

Etapa 1.1.1.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 1.1.1.2.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{1}{x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}$

Etapa 1.1.1.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{x {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{C}{x - 1}$

Etapa 1.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{1 (x {(x - 1)}^{2})}{x {(x - 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x {(x - 1)}^{2})}{x {(x - 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 ({(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Etapa 1.1.6

Cancele o fator comum de ${(x - 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Etapa 1.1.6.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Etapa 1.1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.7.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.1.2

Divida $A ({(x - 1)}^{2})$ por $1$ .

$1 = A ({(x - 1)}^{2}) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.2

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$1 = A ((x - 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.3

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A (x (x - 1) - 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.7.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$1 = A (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.4.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$1 = A (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.4.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$1 = A (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.4.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$1 = A (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.4.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 = A (x^{2} - x - x + 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.4.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$1 = A (x^{2} - 2 x + 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x^{2} + A (- 2 x) + A \cdot 1 + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.6

Simplifique.

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Etapa 1.1.7.6.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = A x^{2} - 2 A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.6.2

Multiplique $A$ por $1$ .

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.7

Cancele o fator comum de ${(x - 1)}^{2}$ .

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Etapa 1.1.7.7.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + \frac{B (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.7.2

Divida $(B) (x)$ por $1$ .

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + (B) (x) + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.8

Cancele o fator comum de ${(x - 1)}^{2}$ e $x - 1$ .

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Etapa 1.1.7.8.1

Fatore $x - 1$ de $(C) (x {(x - 1)}^{2})$ .

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + \frac{(x - 1) (C (x (x - 1)))}{x - 1}$

Etapa 1.1.7.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.7.8.2.1

Multiplique por $1$ .

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + \frac{(x - 1) (C (x (x - 1)))}{(x - 1) \cdot 1}$

Etapa 1.1.7.8.2.2

Cancele o fator comum.

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + \frac{(x - 1) (C (x (x - 1)))}{(x - 1) \cdot 1}$

Etapa 1.1.7.8.2.3

Reescreva a expressão.

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + \frac{C (x (x - 1))}{1}$

Etapa 1.1.7.8.2.4

Divida $C (x (x - 1))$ por $1$ .

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x (x - 1))$

Etapa 1.1.7.9

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x \cdot x + x \cdot - 1)$

Etapa 1.1.7.10

Multiplique $x$ por $x$ .

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x^{2} + x \cdot - 1)$

Etapa 1.1.7.11

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x^{2} - 1 \cdot x)$

Etapa 1.1.7.12

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x^{2} - x)$

Etapa 1.1.7.13

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C x^{2} + C (- x)$

Etapa 1.1.7.14

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C x^{2} - C x$

Etapa 1.1.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.8.1

Mova $A$ .

$1 = A x^{2} - 2 x A + A + B x + C x^{2} - C x$

Etapa 1.1.8.2

Reordene $B$ e $x$ .

$1 = A x^{2} - 2 x A + A + B x + C x^{2} - C x$

Etapa 1.1.8.3

Mova $A$ .

$1 = A x^{2} - 2 x A + B x + C x^{2} - C x + A$

Etapa 1.1.8.4

Mova $B x$ .

$1 = A x^{2} - 2 x A + C x^{2} + B x - C x + A$

Etapa 1.1.8.5

Mova $- 2 x A$ .

$1 = A x^{2} + C x^{2} - 2 x A + B x - C x + A$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + C$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = - 2 A + B - 1 C$

Etapa 1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A$

Etapa 1.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + C$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

$1 = A$

$0 = A + C$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

$1 = A$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Reescreva a equação como $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + C$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1$ em cada equação.

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Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + C$ por $1$ .

$0 = (1) + C$

$A = 1$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$0 = 1 + C$

$A = 1$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

$0 = 1 + C$

$A = 1$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = - 2 A + B - 1 C$ por $1$ .

$0 = - 2 \cdot 1 + B - 1 C$

$0 = 1 + C$

$A = 1$

Etapa 1.3.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.2.4.1.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$0 = - 2 + B - 1 C$

$0 = 1 + C$

$A = 1$

Etapa 1.3.2.4.1.2

Reescreva $- 1 C$ como $- C$ .

$0 = - 2 + B - C$

$0 = 1 + C$

$A = 1$

$0 = - 2 + B - C$

$0 = 1 + C$

$A = 1$

$0 = - 2 + B - C$

$0 = 1 + C$

$A = 1$

$0 = - 2 + B - C$

$0 = 1 + C$

$A = 1$

Etapa 1.3.3

Resolva $C$ em $0 = 1 + C$ .

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Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $1 + C = 0$ .

$1 + C = 0$

$0 = - 2 + B - C$

$A = 1$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$C = - 1$

$0 = - 2 + B - C$

$A = 1$

$C = - 1$

$0 = - 2 + B - C$

$A = 1$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $- 1$ em cada equação.

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Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $0 = - 2 + B - C$ por $- 1$ .

$0 = - 2 + B - (- 1)$

$C = - 1$

$A = 1$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.4.2.1

Simplifique $- 2 + B - (- 1)$ .

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Etapa 1.3.4.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 = - 2 + B + 1$

$C = - 1$

$A = 1$

Etapa 1.3.4.2.1.2

Some $- 2$ e $1$ .

$0 = B - 1$

$C = - 1$

$A = 1$

$0 = B - 1$

$C = - 1$

$A = 1$

$0 = B - 1$

$C = - 1$

$A = 1$

$0 = B - 1$

$C = - 1$

$A = 1$

Etapa 1.3.5

Resolva $B$ em $0 = B - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Reescreva a equação como $B - 1 = 0$ .

$B - 1 = 0$

$C = - 1$

$A = 1$

Etapa 1.3.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$B = 1$

$C = - 1$

$A = 1$

$B = 1$

$C = - 1$

$A = 1$

Etapa 1.3.6

Resolva o sistema de equações.

$B = 1 C = - 1 A = 1$

Etapa 1.3.7

Liste todas as soluções.

$B = 1, C = - 1, A = 1$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{C}{x - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{1}{x} + \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{- 1}{x - 1}$

Etapa 1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{x} + \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{1}{x - 1} d x d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$(\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x) d x$

Etapa 3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$(\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x) d x$

Etapa 4

Deixe $u_{1} = x - 1$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{1} = x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$(\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x) d x$

Etapa 5

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.1

Mova ${u_{1}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$(\ln (| x |) + C + \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x) d x$

Etapa 5.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\ln (| x |) + C + \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x) d x$

Etapa 5.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(\ln (| x |) + C + \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x) d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{1}}^{- 2}$ com relação a $u_{1}$ é $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$(\ln (| x |) + C - {u_{1}}^{- 1} + C + \int - \frac{1}{x - 1} d x) d x$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$(\ln (| x |) + C - {u_{1}}^{- 1} + C - \int \frac{1}{x - 1} d x) d x$

Etapa 8

Deixe $u_{2} = x - 1$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Deixe $u_{2} = x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 8.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 8.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$(\ln (| x |) + C - {u_{1}}^{- 1} + C - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) d x$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$(\ln (| x |) + C - {u_{1}}^{- 1} + C - (\ln (| u_{2} |) + C)) d x$

Etapa 10

Simplifique.

$(- {u_{1}}^{- 1} + \ln (\frac{| x |}{| u_{2} |})) d x + C$

Etapa 11

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 1$ .

$(- {(x - 1)}^{- 1} + \ln (\frac{| x |}{| u_{2} |})) d x + C$

Etapa 11.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 1$ .

$(- {(x - 1)}^{- 1} + \ln (\frac{| x |}{| x - 1 |})) d x + C$