Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} (x + 1) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x + 1$ e $d v = \sqrt{x}$ .

$(x + 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 2.2

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Etapa 3

Como $\frac{2}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{3}$ para fora da integral.

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{2}{3} \int_{0}^{1} x^{\frac{3}{2}} d x)$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie $(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ em $1$ e em $0$ .

$((1 + 1) \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Etapa 5.2

Avalie $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ em $1$ e em $0$ .

$((1 + 1) \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Some $1$ e $1$ .

$2 \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 5.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 \frac{2 \cdot 1}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 5.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 (\frac{2}{3}) - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 5.3.4

Combine $2$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 5.3.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 5.3.6

Some $0$ e $1$ .

$\frac{4}{3} - 1 \cdot 1 \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 5.3.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 5.3.8

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 5.3.9

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 5.3.10

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.10.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 5.3.10.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{3}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 5.3.11

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 5.3.12

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{4}{3} - 1 (\frac{0}{3}) - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 5.3.13

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.13.1

Fatore $3$ de $0$ .

$\frac{4}{3} - 1 \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 5.3.13.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.13.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{4}{3} - 1 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 5.3.13.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{3} - 1 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 5.3.13.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{3} - 1 (\frac{0}{1}) - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 5.3.13.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{4}{3} - 1 \cdot 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 5.3.14

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{4}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 5.3.15

Some $\frac{4}{3}$ e $0$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 5.3.16

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 5.3.17

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $1$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 5.3.18

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 5.3.19

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Etapa 5.3.20

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.20.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Etapa 5.3.20.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

Etapa 5.3.21

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

Etapa 5.3.22

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

Etapa 5.3.23

Multiplique $0$ por $\frac{2}{5}$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0)$

Etapa 5.3.24

Some $\frac{2}{5}$ e $0$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}$

Etapa 5.3.25

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Etapa 5.3.26

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3}$

Etapa 5.3.27

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{4}{3} - \frac{4}{15}$

Etapa 5.3.28

Para escrever $\frac{4}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{15}$

Etapa 5.3.29

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.29.1

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4}{15}$

Etapa 5.3.29.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{4 \cdot 5}{15} - \frac{4}{15}$

Etapa 5.3.30

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 \cdot 5 - 4}{15}$

Etapa 5.3.31

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.31.1

Multiplique $4$ por $5$ .

$\frac{20 - 4}{15}$

Etapa 5.3.31.2

Subtraia $4$ de $20$ .

$\frac{16}{15}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{16}{15}$

Forma decimal:

$1.0\overline{6}$

Forma de número misto:

$1 \frac{1}{15}$

Etapa 7