Cálculo Exemplos

$\ln (x^{2} + y^{2}) + 2 \arctan (\frac{x}{y}) = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2}) + 2 \arctan (\frac{x}{y})) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\ln (x^{2} + y^{2}) + 2 \arctan (\frac{x}{y})$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + y^{2})]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Etapa 2.2.1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Etapa 2.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Etapa 2.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Etapa 2.2.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \arctan (\frac{x}{y})$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{y})]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [\arctan (u_{3})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\arctan (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\frac{1}{1 + {u_{3}}^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {u_{3}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}})$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}})$

Etapa 2.3.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}})$

Etapa 2.3.6

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y - x y'}{y^{2}})$

Etapa 2.3.7

Multiplique $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}}$ por $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 \frac{y - x y'}{(1 + {(\frac{x}{y})}^{2}) y^{2}}$

Etapa 2.3.8

Combine $2$ e $\frac{y - x y'}{(1 + {(\frac{x}{y})}^{2}) y^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 (y - x y')}{(1 + {(\frac{x}{y})}^{2}) y^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 (y - x y')}{(1 + \frac{x^{2}}{y^{2}}) y^{2}}$

Etapa 2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y + 2 (- x y')}{(1 + \frac{x^{2}}{y^{2}}) y^{2}}$

Etapa 2.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y + 2 (- x y')}{1 y^{2} + \frac{x^{2}}{y^{2}} y^{2}}$

Etapa 2.4.4

Combine os termos.

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Etapa 2.4.4.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 (x y')}{1 y^{2} + \frac{x^{2}}{y^{2}} y^{2}}$

Etapa 2.4.4.2

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + \frac{x^{2}}{y^{2}} y^{2}}$

Etapa 2.4.4.3

Combine $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ e $y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + \frac{x^{2} y^{2}}{y^{2}}}$

Etapa 2.4.4.4

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 2.4.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + \frac{x^{2} y^{2}}{y^{2}}}$

Etapa 2.4.4.4.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

Etapa 2.4.4.5

Para escrever $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y^{2} + x^{2}}{y^{2} + x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') \cdot \frac{y^{2} + x^{2}}{y^{2} + x^{2}} + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

Etapa 2.4.4.6

Combine $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ e $\frac{y^{2} + x^{2}}{y^{2} + x^{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2})}{y^{2} + x^{2}} + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

Etapa 2.4.4.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2}) + 2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

Etapa 2.4.5

Reordene os termos.

$\frac{(2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.6.1

Expanda $(2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2})$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.4.6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x (y^{2} + x^{2}) + 2 y y' (y^{2} + x^{2})) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x \cdot x^{2} + 2 y y' (y^{2} + x^{2})) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x \cdot x^{2} + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.6.2.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.6.2.1.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 (x^{2} x) + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.2.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 2.4.6.2.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.2.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{2 + 1} + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.2.1.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.2.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.6.2.2.1

Mova $y^{2}$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 (y^{2} y) y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.2.2.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 2.4.6.2.2.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 (y^{2} y^{1}) y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{2 + 1} y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.2.2.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.3

Multiplique $2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}$ por $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{\frac{2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.6.4.1

Fatore $2$ de $2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}$ .

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Etapa 2.4.6.4.1.1

Fatore $2$ de $2 x y^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.4.1.2

Fatore $2$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 (x^{3}) + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.4.1.3

Fatore $2$ de $2 y^{3} y'$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 (x^{3}) + 2 (y^{3} y') + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.4.1.4

Fatore $2$ de $2 y y' x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 (x^{3}) + 2 (y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.4.1.5

Fatore $2$ de $2 (x y^{2}) + 2 (x^{3})$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2} + x^{3}) + 2 (y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.4.1.6

Fatore $2$ de $2 (x y^{2} + x^{3}) + 2 (y^{3} y')$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2} + x^{3} + y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.4.1.7

Fatore $2$ de $2 (x y^{2} + x^{3} + y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2} + x^{3} + y^{3} y' + y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.4.6.4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{\frac{2 ((x y^{2} + x^{3}) + y^{3} y' + y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{\frac{2 (x (y^{2} + x^{2}) + y y' (y^{2} + x^{2}))}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $y^{2} + x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (y^{2} + x^{2}) (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.5

Cancele o fator comum de $y^{2} + x^{2}$ e $x^{2} + y^{2}$ .

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Etapa 2.4.6.5.1

Reordene os termos.

$\frac{\frac{2 (x^{2} + y^{2}) (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{2 (x^{2} + y^{2}) (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.5.3

Divida $2 (x + y y')$ por $1$ .

$\frac{2 (x + y y') - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x + 2 (y y') - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.7

Fatore $2$ de $2 x + 2 y y' - 2 x y' + 2 y$ .

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Etapa 2.4.6.7.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2 y y' - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.7.2

Fatore $2$ de $2 y y'$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y') - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.7.3

Fatore $2$ de $- 2 x y'$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y') + 2 (- x y') + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.7.4

Fatore $2$ de $2 y$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y') + 2 (- x y') + 2 (y)}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.7.5

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (y y')$ .

$\frac{2 (x + y y') + 2 (- x y') + 2 (y)}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.7.6

Fatore $2$ de $2 (x + y y') + 2 (- x y')$ .

$\frac{2 (x + y y' - x y') + 2 (y)}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.4.6.7.7

Fatore $2$ de $2 (x + y y' - x y') + 2 (y)$ .

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{x^{2} + y^{2}} = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Defina o numerador como igual a zero.

$2 (x + y y' - x y' + y) = 0$

Etapa 5.2

Resolva a equação para $y'$ .

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $2 (x + y y' - x y' + y) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Divida cada termo em $2 (x + y y' - x y' + y) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 5.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 5.2.1.2.1.2

Divida $x + y y' - x y' + y$ por $1$ .

$x + y y' - x y' + y = \frac{0}{2}$

Etapa 5.2.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x + y y' - x y' + y = 0$

Etapa 5.2.2

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.2.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$y y' - x y' + y = - x$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$y y' - x y' = - x - y$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de $y y' - x y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Fatore $y'$ de $y y'$ .

$y' y - x y' = - x - y$

Etapa 5.2.3.2

Fatore $y'$ de $- x y'$ .

$y' (y) + y' (- x) = - x - y$

Etapa 5.2.3.3

Fatore $y'$ de $y' (y) + y' (- x)$ .

$y' (y - x) = - x - y$

Etapa 5.2.4

Divida cada termo em $y' (y - x) = - x - y$ por $y - x$ e simplifique.

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Etapa 5.2.4.1

Divida cada termo em $y' (y - x) = - x - y$ por $y - x$ .

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- x}{y - x} + \frac{- y}{y - x}$

Etapa 5.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $y - x$ .

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Etapa 5.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- x}{y - x} + \frac{- y}{y - x}$

Etapa 5.2.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- x}{y - x} + \frac{- y}{y - x}$

Etapa 5.2.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- x - y}{y - x}$

Etapa 5.2.4.3.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{- (x) - y}{y - x}$

Etapa 5.2.4.3.3

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{- (x) - (y)}{y - x}$

Etapa 5.2.4.3.4

Fatore $- 1$ de $- (x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (x + y)}{y - x}$

Etapa 5.2.4.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.2.4.3.5.1

Reescreva $- (x + y)$ como $- 1 (x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x + y)}{y - x}$

Etapa 5.2.4.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x + y}{y - x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + y}{y - x}$