Cálculo Exemplos

$x^{4} (x - 2) (x + 3)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4} (x - 2)$ e $g (x) = x + 3$ .

$x^{4} (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x^{4} (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{4} (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Etapa 1.2.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{4} (x - 2) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Etapa 1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$x^{4} (x - 2) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x - 2$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 1.4.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 1.4.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 1.4.4.2

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 1.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + (x - 2) (4 x^{3}))$

Etapa 1.4.6

Mova $4$ para a esquerda de $x - 2$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + 4 \cdot (x - 2) x^{3})$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + 4 (x - 2) x^{3})$

Etapa 1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + (4 x + 4 \cdot - 2) x^{3})$

Etapa 1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + 4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) x^{4} + (x + 3) (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + (x + 3) (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.6

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.7

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.8

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.1.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{4} x^{1} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.8.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{4 + 1} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.8.1.2

Some $4$ e $1$ .

$x^{5} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.8.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$x^{5} - 2 \cdot x^{4} + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.8.3

Multiplique $x$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.8.3.1

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{1} x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.8.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{1 + 4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.8.3.2

Some $1$ e $4$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.8.4

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.4.1

Mova $x^{3}$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 (x^{3} x)) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.8.4.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 (x^{3} x^{1})) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.8.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x^{3 + 1}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.8.4.3

Some $3$ e $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x^{4}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.8.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 (x^{1} x^{4}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.8.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{1 + 4} + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.8.7

Some $1$ e $4$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.8.8

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.8.8.1

Mova $x^{3}$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 (x^{3} x)) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.8.8.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 1.5.8.8.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 (x^{3} x^{1})) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.8.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x^{3 + 1}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.8.8.3

Some $3$ e $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x^{4}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.8.9

Multiplique $4$ por $3$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.8.10

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} + x (- 8 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.8.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 (x^{1} x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.8.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{1 + 3} + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.8.13

Some $1$ e $3$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Etapa 1.5.8.14

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} + 3 (- 8 x^{3})$

Etapa 1.5.8.15

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} - 24 x^{3}$

Etapa 1.5.8.16

Subtraia $8 x^{4}$ de $12 x^{4}$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 24 x^{3}$

Etapa 1.5.8.17

Some $x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + 5 x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{4} - 24 x^{3}$

Etapa 1.5.8.18

Some $3 x^{4}$ e $4 x^{4}$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + 5 x^{5} + 7 x^{4} - 24 x^{3}$

Etapa 1.5.8.19

Some $x^{5}$ e $5 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 2 x^{4} + 7 x^{4} - 24 x^{3}$

Etapa 1.5.8.20

Some $- 2 x^{4}$ e $7 x^{4}$ .

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{5}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f'' (x) = 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Etapa 2.2.3

Multiplique $5$ por $6$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Etapa 2.3.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 24 x^{3}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{3}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 24 (3 x^{2})$

Etapa 2.4.3

Multiplique $3$ por $- 24$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 72 x^{2}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$f' (x) = x^{4} (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 3) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (3)) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Etapa 4.1.2.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Etapa 4.1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Etapa 4.1.2.4.2

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x - 2$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Etapa 4.1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Etapa 4.1.4.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Etapa 4.1.4.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Etapa 4.1.4.4.2

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Etapa 4.1.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + (x - 2) (4 x^{3}))$

Etapa 4.1.4.6

Mova $4$ para a esquerda de $x - 2$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + 4 \cdot ((x - 2) x^{3}))$

Etapa 4.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + 4 (x - 2) x^{3})$

Etapa 4.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + (4 x + 4 \cdot - 2) x^{3})$

Etapa 4.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + 4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Etapa 4.1.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) x^{4} + (x + 3) (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Etapa 4.1.5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + (x + 3) (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Etapa 4.1.5.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Etapa 4.1.5.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Etapa 4.1.5.8

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.8.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.8.1.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.8.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Etapa 4.1.5.8.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = x^{4 + 1} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Etapa 4.1.5.8.1.2

Some $4$ e $1$ .

$f' (x) = x^{5} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Etapa 4.1.5.8.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Etapa 4.1.5.8.3

Multiplique $x$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.8.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{1 + 4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Etapa 4.1.5.8.3.2

Some $1$ e $4$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Etapa 4.1.5.8.4

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.8.4.1

Mova $x^{3}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 (x^{3} x)) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Etapa 4.1.5.8.4.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.8.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 (x^{3} x)) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Etapa 4.1.5.8.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x^{3 + 1}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Etapa 4.1.5.8.4.3

Some $3$ e $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x^{4}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Etapa 4.1.5.8.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 (x \cdot x^{4}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Etapa 4.1.5.8.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{1 + 4} + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Etapa 4.1.5.8.7

Some $1$ e $4$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Etapa 4.1.5.8.8

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.8.8.1

Mova $x^{3}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 (x^{3} x)) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Etapa 4.1.5.8.8.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.8.8.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 (x^{3} x)) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Etapa 4.1.5.8.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x^{3 + 1}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Etapa 4.1.5.8.8.3

Some $3$ e $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x^{4}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Etapa 4.1.5.8.9

Multiplique $4$ por $3$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Etapa 4.1.5.8.10

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} + x (- 8 x^{3}) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Etapa 4.1.5.8.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 (x \cdot x^{3}) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Etapa 4.1.5.8.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{1 + 3} + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Etapa 4.1.5.8.13

Some $1$ e $3$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Etapa 4.1.5.8.14

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} + 3 (- 8 x^{3})$

Etapa 4.1.5.8.15

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} - 24 x^{3}$

Etapa 4.1.5.8.16

Subtraia $8 x^{4}$ de $12 x^{4}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 24 x^{3}$

Etapa 4.1.5.8.17

Some $x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + 5 x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{4} - 24 x^{3}$

Etapa 4.1.5.8.18

Some $3 x^{4}$ e $4 x^{4}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + 5 x^{5} + 7 x^{4} - 24 x^{3}$

Etapa 4.1.5.8.19

Some $x^{5}$ e $5 x^{5}$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 2 x^{4} + 7 x^{4} - 24 x^{3}$

Etapa 4.1.5.8.20

Some $- 2 x^{4}$ e $7 x^{4}$ .

$f' (x) = 6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ .

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3} = 0$

Etapa 5.2

Fatore $x^{3}$ de $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $x^{3}$ de $6 x^{5}$ .

$x^{3} (6 x^{2}) + 5 x^{4} - 24 x^{3} = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $x^{3}$ de $5 x^{4}$ .

$x^{3} (6 x^{2}) + x^{3} (5 x) - 24 x^{3} = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $x^{3}$ de $- 24 x^{3}$ .

$x^{3} (6 x^{2}) + x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot - 24 = 0$

Etapa 5.2.4

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} (6 x^{2}) + x^{3} (5 x)$ .

$x^{3} (6 x^{2} + 5 x) + x^{3} \cdot - 24 = 0$

Etapa 5.2.5

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} (6 x^{2} + 5 x) + x^{3} \cdot - 24$ .

$x^{3} (6 x^{2} + 5 x - 24) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

$6 x^{2} + 5 x - 24 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $x^{3} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 5.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $6 x^{2} + 5 x - 24$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $6 x^{2} + 5 x - 24$ como igual a $0$ .

$6 x^{2} + 5 x - 24 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $6 x^{2} + 5 x - 24 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.5.2.2

Substitua os valores $a = 6$ , $b = 5$ e $c = - 24$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 24)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.5.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.3.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 6 \cdot - 24}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 6 \cdot - 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24 \cdot - 24}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 24$ por $- 24$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 576}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.5.2.3.1.3

Some $25$ e $576$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{601}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{601}}{12}$

Etapa 5.5.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $x^{3} (6 x^{2} + 5 x - 24) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$30 {(0)}^{4} + 20 {(0)}^{3} - 72 {(0)}^{2}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$30 \cdot 0 + 20 {(0)}^{3} - 72 {(0)}^{2}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $30$ por $0$ .

$0 + 20 {(0)}^{3} - 72 {(0)}^{2}$

Etapa 9.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 20 \cdot 0 - 72 {(0)}^{2}$

Etapa 9.1.4

Multiplique $20$ por $0$ .

$0 + 0 - 72 {(0)}^{2}$

Etapa 9.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 0 - 72 \cdot 0$

Etapa 9.1.6

Multiplique $- 72$ por $0$ .

$0 + 0 + 0$

Etapa 9.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}) \cup (- \frac{5 + \sqrt{601}}{12}, 0) \cup (0, - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}) \cup (- \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 5$ , do intervalo $(- \infty, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12})$ na primeira derivada $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f' (- 5) = 6 {(- 5)}^{5} + 5 {(- 5)}^{4} - 24 {(- 5)}^{3}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $5$ .

$f' (- 5) = 6 \cdot - 3125 + 5 {(- 5)}^{4} - 24 {(- 5)}^{3}$

Etapa 10.2.2.1.2

Multiplique $6$ por $- 3125$ .

$f' (- 5) = - 18750 + 5 {(- 5)}^{4} - 24 {(- 5)}^{3}$

Etapa 10.2.2.1.3

Eleve $- 5$ à potência de $4$ .

$f' (- 5) = - 18750 + 5 \cdot 625 - 24 {(- 5)}^{3}$

Etapa 10.2.2.1.4

Multiplique $5$ por $625$ .

$f' (- 5) = - 18750 + 3125 - 24 {(- 5)}^{3}$

Etapa 10.2.2.1.5

Eleve $- 5$ à potência de $3$ .

$f' (- 5) = - 18750 + 3125 - 24 \cdot - 125$

Etapa 10.2.2.1.6

Multiplique $- 24$ por $- 125$ .

$f' (- 5) = - 18750 + 3125 + 3000$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.1

Some $- 18750$ e $3125$ .

$f' (- 5) = - 15625 + 3000$

Etapa 10.2.2.2.2

Some $- 15625$ e $3000$ .

$f' (- 5) = - 12625$

Etapa 10.2.2.3

A resposta final é $- 12625$ .

$- 12625$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $- 1$ , do intervalo $(- \frac{5 + \sqrt{601}}{12}, 0)$ na primeira derivada $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = 6 {(- 1)}^{5} + 5 {(- 1)}^{4} - 24 {(- 1)}^{3}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$f' (- 1) = 6 \cdot - 1 + 5 {(- 1)}^{4} - 24 {(- 1)}^{3}$

Etapa 10.3.2.1.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 6 + 5 {(- 1)}^{4} - 24 {(- 1)}^{3}$

Etapa 10.3.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f' (- 1) = - 6 + 5 \cdot 1 - 24 {(- 1)}^{3}$

Etapa 10.3.2.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$f' (- 1) = - 6 + 5 - 24 {(- 1)}^{3}$

Etapa 10.3.2.1.5

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f' (- 1) = - 6 + 5 - 24 \cdot - 1$

Etapa 10.3.2.1.6

Multiplique $- 24$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 6 + 5 + 24$

Etapa 10.3.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.2.1

Some $- 6$ e $5$ .

$f' (- 1) = - 1 + 24$

Etapa 10.3.2.2.2

Some $- 1$ e $24$ .

$f' (- 1) = 23$

Etapa 10.3.2.3

A resposta final é $23$ .

$23$

Etapa 10.4

Substitua qualquer número, como $1$ , do intervalo $(0, - \frac{5 - \sqrt{601}}{12})$ na primeira derivada $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 6 {(1)}^{5} + 5 {(1)}^{4} - 24 {(1)}^{3}$

Etapa 10.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 6 \cdot 1 + 5 {(1)}^{4} - 24 {(1)}^{3}$

Etapa 10.4.2.1.2

Multiplique $6$ por $1$ .

$f' (1) = 6 + 5 {(1)}^{4} - 24 {(1)}^{3}$

Etapa 10.4.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 6 + 5 \cdot 1 - 24 {(1)}^{3}$

Etapa 10.4.2.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$f' (1) = 6 + 5 - 24 {(1)}^{3}$

Etapa 10.4.2.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 6 + 5 - 24 \cdot 1$

Etapa 10.4.2.1.6

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$f' (1) = 6 + 5 - 24$

Etapa 10.4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.2.1

Some $6$ e $5$ .

$f' (1) = 11 - 24$

Etapa 10.4.2.2.2

Subtraia $24$ de $11$ .

$f' (1) = - 13$

Etapa 10.4.2.3

A resposta final é $- 13$ .

$- 13$

Etapa 10.5

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(- \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, \infty)$ na primeira derivada $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = 6 {(4)}^{5} + 5 {(4)}^{4} - 24 {(4)}^{3}$

Etapa 10.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $5$ .

$f' (4) = 6 \cdot 1024 + 5 {(4)}^{4} - 24 {(4)}^{3}$

Etapa 10.5.2.1.2

Multiplique $6$ por $1024$ .

$f' (4) = 6144 + 5 {(4)}^{4} - 24 {(4)}^{3}$

Etapa 10.5.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f' (4) = 6144 + 5 \cdot 256 - 24 {(4)}^{3}$

Etapa 10.5.2.1.4

Multiplique $5$ por $256$ .

$f' (4) = 6144 + 1280 - 24 {(4)}^{3}$

Etapa 10.5.2.1.5

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f' (4) = 6144 + 1280 - 24 \cdot 64$

Etapa 10.5.2.1.6

Multiplique $- 24$ por $64$ .

$f' (4) = 6144 + 1280 - 1536$

Etapa 10.5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.2.1

Some $6144$ e $1280$ .

$f' (4) = 7424 - 1536$

Etapa 10.5.2.2.2

Subtraia $1536$ de $7424$ .

$f' (4) = 5888$

Etapa 10.5.2.3

A resposta final é $5888$ .

$5888$

Etapa 10.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ , então $x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ é um mínimo local.

$x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ é um mínimo local

Etapa 10.7

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um máximo local.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 10.8

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ , então $x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ é um mínimo local.

$x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ é um mínimo local

Etapa 10.9

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{4} (x - 2) (x + 3)$ .

$x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ é um mínimo local

$x = 0$ é um máximo local

$x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ é um mínimo local

$x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ é um mínimo local

$x = 0$ é um máximo local

$x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ é um mínimo local

Etapa 11