Cálculo Exemplos

$\frac{1}{x^{3} - x}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{x^{3} - x}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{x^{3} - x}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{3} - x} d x$

Etapa 4

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Fatore a fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3} - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} - x}$

Etapa 4.1.1.1.2

Fatore $x$ de $- x$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}$

Etapa 4.1.1.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$\frac{1}{x (x^{2} - 1)}$

Etapa 4.1.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{x (x^{2} - 1^{2})}$

Etapa 4.1.1.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{x ((x + 1) (x - 1))}$

Etapa 4.1.1.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{1}{x (x + 1) (x - 1)}$

Etapa 4.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Etapa 4.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$

Etapa 4.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.5

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.6

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.7

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 4.1.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.7.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.8.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.8.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.8.1.2

Divida $A ((x + 1) (x - 1))$ por $1$ .

$1 = A ((x + 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.8.2

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.8.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A (x (x - 1) + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.8.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.8.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.8.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.1.8.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.8.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$1 = A (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.8.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$1 = A (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.8.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$1 = A (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.8.3.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$1 = A (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.8.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 = A (x^{2} - x + x - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.8.3.2

Some $- x$ e $x$ .

$1 = A (x^{2} + 0 - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.8.3.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$1 = A (x^{2} - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.8.4

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x^{2} + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.8.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $A$ .

$1 = A x^{2} - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.8.6

Reescreva $- 1 A$ como $- A$ .

$1 = A x^{2} - A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.8.7

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 4.1.8.7.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x^{2} - A + \frac{B (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.8.7.2

Divida $(B) (x (x - 1))$ por $1$ .

$1 = A x^{2} - A + (B) (x (x - 1)) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.8.8

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x^{2} - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.8.9

Multiplique $x$ por $x$ .

$1 = A x^{2} - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.8.10

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$1 = A x^{2} - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.8.11

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$1 = A x^{2} - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.8.12

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.8.13

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.8.14

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 4.1.8.14.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 4.1.8.14.2

Divida $(C) (x (x + 1))$ por $1$ .

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + (C) (x (x + 1))$

Etapa 4.1.8.15

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x \cdot x + x \cdot 1)$

Etapa 4.1.8.16

Multiplique $x$ por $x$ .

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x \cdot 1)$

Etapa 4.1.8.17

Multiplique $x$ por $1$ .

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x)$

Etapa 4.1.8.18

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C x^{2} + C x$

Etapa 4.1.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.9.1

Mova $B$ .

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x$

Etapa 4.1.9.2

Mova $- A$ .

$1 = A x^{2} + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x - A$

Etapa 4.1.9.3

Mova $- x B$ .

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - x B + C x - A$

Etapa 4.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 4.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B + C$

Etapa 4.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = - 1 B + C$

Etapa 4.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = - 1 A$

Etapa 4.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$1 = - 1 A$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$1 = - 1 A$

Etapa 4.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 4.3.1

Resolva $A$ em $1 = - 1 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Reescreva a equação como $- 1 A = 1$ .

$- 1 A = 1$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

Etapa 4.3.1.2

Divida cada termo em $- 1 A = 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.3.1.2.1

Divida cada termo em $- 1 A = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

Etapa 4.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.1.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

Etapa 4.3.1.2.2.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

Etapa 4.3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

Etapa 4.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- 1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + B + C$ por $- 1$ .

$0 = (- 1) + B + C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

Etapa 4.3.3

Resolva $B$ em $0 = - 1 + B + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Reescreva a equação como $- 1 + B + C = 0$ .

$- 1 + B + C = 0$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

Etapa 4.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$B + C = 1$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

Etapa 4.3.3.2.2

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

Etapa 4.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $1 - C$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $0 = - 1 B + C$ por $1 - C$ .

$0 = - 1 (1 - C) + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Etapa 4.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.1

Simplifique $- 1 (1 - C) + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- C) + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Etapa 4.3.4.2.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- C) + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Etapa 4.3.4.2.1.1.3

Multiplique $- 1 (- C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 C + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Etapa 4.3.4.2.1.1.3.2

Multiplique $C$ por $1$ .

$0 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Etapa 4.3.4.2.1.2

Some $C$ e $C$ .

$0 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Etapa 4.3.5

Resolva $C$ em $0 = - 1 + 2 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Reescreva a equação como $- 1 + 2 C = 0$ .

$- 1 + 2 C = 0$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Etapa 4.3.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 C = 1$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Etapa 4.3.5.3

Divida cada termo em $2 C = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.3.1

Divida cada termo em $2 C = 1$ por $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Etapa 4.3.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 C}{2} = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Etapa 4.3.5.3.2.1.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$C = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$C = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$C = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$C = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Etapa 4.3.6

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $\frac{1}{2}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $B = 1 - C$ por $\frac{1}{2}$ .

$B = 1 - (\frac{1}{2})$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Etapa 4.3.6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.6.2.1

Simplifique $1 - (\frac{1}{2})$ .

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Etapa 4.3.6.2.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$B = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Etapa 4.3.6.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$B = \frac{2 - 1}{2}$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Etapa 4.3.6.2.1.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$B = \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Etapa 4.3.7

Liste todas as soluções.

$B = \frac{1}{2}, C = \frac{1}{2}, A = - 1$

Etapa 4.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x + 1}$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Etapa 4.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{x} + \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Etapa 4.5.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$\int - \frac{1}{x} + \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Etapa 9

Deixe $u_{1} = x + 1$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 9.1

Deixe $u_{1} = x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 9.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 9.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 9.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 9.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Etapa 11

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 12

Deixe $u_{2} = x - 1$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 12.1

Deixe $u_{2} = x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 12.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 12.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 12.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 12.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 12.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 12.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 13

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 14

Simplifique.

$- \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 15

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 15.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + 1$ .

$- \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 15.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 1$ .

$- \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$

Etapa 16

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{x^{3} - x}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$