Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}} d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int x^{- 2} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- x^{- 1} + C - \int \frac{2}{x^{4}} d x$

Etapa 7

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$- x^{- 1} + C - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

Etapa 8

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- x^{- 1} + C - 2 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Etapa 8.2

Mova $x^{4}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- x^{- 1} + C - 2 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Etapa 8.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Etapa 8.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Etapa 8.3.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- x^{- 1} + C - 2 \int x^{- 4} d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 4}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique.

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Etapa 10.1.1

Combine $x^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Etapa 10.1.2

Mova $x^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Etapa 10.2

Simplifique.

$- \frac{1}{x} - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

Etapa 10.3

Simplifique.

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Etapa 10.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- \frac{1}{x} + 2 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Etapa 10.3.2

Combine $2$ e $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{2}{3 x^{3}} + C$

Etapa 11

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x} + \frac{2}{3 x^{3}} + C$