Cálculo Exemplos

$y = (x^{2} + 5) (3 x + 1)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + 5) (3 x + 1))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} + 5$ e $g (x) = 3 x + 1$ .

$(x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 1] + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Etapa 3.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Etapa 3.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x^{2} + 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Etapa 3.2.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$(x^{2} + 5) (3 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Etapa 3.2.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{2} + 5) (3 + 0) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Etapa 3.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.1

Some $3$ e $0$ .

$(x^{2} + 5) \cdot 3 + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Etapa 3.2.6.2

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2} + 5$ .

$3 \cdot (x^{2} + 5) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Etapa 3.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 3.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 3.2.9

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (2 x + 0)$

Etapa 3.2.10

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (2 x)$

Etapa 3.2.10.2

Mova $2$ para a esquerda de $3 x + 1$ .

$3 (x^{2} + 5) + 2 \cdot (3 x + 1) x$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 3 \cdot 5 + 2 (3 x + 1) x$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 3 \cdot 5 + (2 (3 x) + 2 \cdot 1) x$

Etapa 3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 3 \cdot 5 + 2 (3 x) x + 2 \cdot 1 x$

Etapa 3.3.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1

Multiplique $3$ por $5$ .

$3 x^{2} + 15 + 2 (3 x) x + 2 \cdot 1 x$

Etapa 3.3.4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 x \cdot x + 2 \cdot 1 x$

Etapa 3.3.4.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x$

Etapa 3.3.4.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x$

Etapa 3.3.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 x^{2} + 15 + 6 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x$

Etapa 3.3.4.6

Some $1$ e $1$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 x^{2} + 2 \cdot 1 x$

Etapa 3.3.4.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 x^{2} + 2 x$

Etapa 3.3.4.8

Some $3 x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$9 x^{2} + 15 + 2 x$

Etapa 3.3.5

Reordene os termos.

$9 x^{2} + 2 x + 15$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 9 x^{2} + 2 x + 15$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{2} + 2 x + 15$