Cálculo Exemplos

$f (x) = e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Etapa 1.3

Como $100 e$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $100 e$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{x} + 0 + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{4}]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{4}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$e^{x} + 0 + 8 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$e^{x} + 0 + 8 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [49]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $4$ por $8$ .

$e^{x} + 0 + 32 x^{3} + \frac{d}{d x} [49]$

Etapa 1.5

Como $49$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $49$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{x} + 0 + 32 x^{3} + 0$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Combine os termos.

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Etapa 1.6.1.1

Some $e^{x}$ e $0$ .

$e^{x} + 32 x^{3} + 0$

Etapa 1.6.1.2

Some $e^{x} + 32 x^{3}$ e $0$ .

$e^{x} + 32 x^{3}$

Etapa 1.6.2

Reordene os termos.

$f' (x) = 32 x^{3} + e^{x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $32 x^{3} + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [32 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $32 x^{3}$ em relação a $x$ é $32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$32 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $32$ .

$96 x^{2} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 96 x^{2} + e^{x}$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $96 x^{2} + e^{x}$ .

$96 x^{2} + e^{x}$