Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{x} - \cos (5 x)$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Etapa 2.1.2.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Etapa 2.1.2.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Etapa 2.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Etapa 2.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Etapa 2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{1} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Etapa 2.4

Divida $2 \cos (2 x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \cos (2 x) - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Etapa 3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Etapa 3.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Etapa 3.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} 5 x)$

Etapa 3.5

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) - \cos (5 lim_{x \to 0} x)$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 \cos (2 \cdot 0) - \cos (5 lim_{x \to 0} x)$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 \cos (2 \cdot 0) - \cos (5 \cdot 0)$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$2 \cos (0) - \cos (5 \cdot 0)$

Etapa 5.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$2 \cdot 1 - \cos (5 \cdot 0)$

Etapa 5.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 - \cos (5 \cdot 0)$

Etapa 5.1.4

Multiplique $5$ por $0$ .

$2 - \cos (0)$

Etapa 5.1.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$2 - 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 - 1$

Etapa 5.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$1$