Cálculo Exemplos

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x \sqrt{x} d x$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 1.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 (x^{\frac{1}{2}} x) d x$

Etapa 1.2.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Etapa 1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) d x$

Etapa 1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{1}{2} + 1} d x$

Etapa 1.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} d x$

Etapa 1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{1 + 2}{2}} d x$

Etapa 1.2.5

Some $1$ e $2$ .

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{4}{x^{3}} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 3

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 4.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$4 \int x^{- 3} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 3}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 6.2

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 7

Como $- 5$ é constante com relação a $x$ , mova $- 5$ para fora da integral.

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Simplifique.

$\frac{- 2}{x^{2}} - 5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{x^{2}} - 5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Etapa 9.2.2

Combine $\frac{2}{5}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} - 5 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Etapa 9.2.3

Combine $- 5$ e $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 5 (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

Etapa 9.2.4

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 10 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Etapa 9.2.5

Fatore $5$ de $- 10 x^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{5 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

Etapa 9.2.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.6.1

Fatore $5$ de $5$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{5 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{5 (1)} + C$

Etapa 9.2.6.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{5 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{5 \cdot 1} + C$

Etapa 9.2.6.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{\frac{5}{2}}}{1} + C$

Etapa 9.2.6.4

Divida $- 2 x^{\frac{5}{2}}$ por $1$ .

$- \frac{2}{x^{2}} - 2 x^{\frac{5}{2}} + C$