Cálculo Exemplos

$y = x \cos (5 x) - \sin^{2} (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x \cos (5 x) - \sin^{2} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x \cos (5 x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (5 x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $5 x$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Etapa 1.2.2.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$x (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $5 x$ .

$x (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Etapa 1.2.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Etapa 1.2.6

Multiplique $5$ por $1$ .

$x (- \sin (5 x) \cdot 5) + \cos (5 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Etapa 1.2.7

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Etapa 1.2.8

Multiplique $\cos (5 x)$ por $1$ .

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin^{2} (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (x)$ .

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 1.3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - (2 \sin (x) \cos (x))$

Etapa 1.3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - 2 \sin (x) \cos (x)$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - 5 x \sin (5 x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \cos (5 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 5 x \sin (5 x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \cos (5 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 5 x \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x \sin (5 x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x \sin (5 x)$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x \sin (5 x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (5 x)$ .

$- 5 (x \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $5 x$ .

$- 5 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Etapa 2.2.3.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$- 5 (x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $5 x$ .

$- 5 (x (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Etapa 2.2.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 (x (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 5 (x (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 5 (x (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \sin (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Etapa 2.2.7

Multiplique $5$ por $1$ .

$- 5 (x (\cos (5 x) \cdot 5) + \sin (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Etapa 2.2.8

Mova $5$ para a esquerda de $\cos (5 x)$ .

$- 5 (x (5 \cdot \cos (5 x)) + \sin (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Etapa 2.2.9

Multiplique $\sin (5 x)$ por $1$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \cos (x) \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Etapa 2.3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Etapa 2.3.4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Etapa 2.3.5

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Etapa 2.3.6

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Etapa 2.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Etapa 2.3.8

Some $1$ e $1$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Etapa 2.3.9

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Etapa 2.3.10

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Etapa 2.3.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Etapa 2.3.12

Some $1$ e $1$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

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Etapa 2.4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 2.4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $5 x$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 2.4.1.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 2.4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 x$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 2.4.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - \sin (5 x) (5 \cdot 1)$

Etapa 2.4.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - \sin (5 x) \cdot 5$

Etapa 2.4.5

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 5 \sin (5 x)$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 5 (x (5 \cos (5 x))) - 5 \sin (5 x) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 5 \sin (5 x)$

Etapa 2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 5 (x (5 \cos (5 x))) - 5 \sin (5 x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 5 \sin (5 x)$

Etapa 2.5.3

Combine os termos.

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Etapa 2.5.3.1

Multiplique $5$ por $- 5$ .

$- 25 (x (\cos (5 x))) - 5 \sin (5 x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 5 \sin (5 x)$

Etapa 2.5.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- 25 x \cos (5 x) - 5 \sin (5 x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 5 \sin (5 x)$

Etapa 2.5.3.3

Subtraia $5 \sin (5 x)$ de $- 5 \sin (5 x)$ .

$f'' (x) = - 25 x \cos (5 x) - 10 \sin (5 x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$