Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0^{+}} {(\frac{1}{x})}^{x}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(\frac{1}{x})}^{x}$ como $e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\frac{1}{x})}$

Etapa 2

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\frac{1}{x})}$

Etapa 3

Reescreva $x \ln (\frac{1}{x})$ como $\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\frac{1}{x})}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Etapa 4.1.2

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Etapa 4.1.3

Como o numerador é uma constante e o denominador se aproxima de $0$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima do infinito.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 4.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 4.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Etapa 4.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.5

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 1 x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{1} x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{1 - 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.9

Subtraia $2$ de $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{- 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.10

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.11

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Etapa 4.3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{- x^{- 2}}}$

Etapa 4.3.13

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}}$

Etapa 4.5

Combine os fatores.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} 1 \frac{1}{x} x^{2}}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} x^{2}}$

Etapa 4.5.3

Combine $\frac{1}{x}$ e $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{x}}$

Etapa 4.6

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 4.6.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x}}$

Etapa 4.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x^{1}}}$

Etapa 4.6.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}$

Etapa 4.6.2.3

Cancele o fator comum.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}$

Etapa 4.6.2.4

Reescreva a expressão.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{1}}$

Etapa 4.6.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Etapa 5

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{0}$

Etapa 6

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1$