Cálculo Exemplos

$f (x) = x + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$1 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Etapa 1.1.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))$

Etapa 1.1.2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

Etapa 1.1.2.7

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Etapa 1.1.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Etapa 1.1.2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.2.9.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0))$

Etapa 1.1.2.9.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0))$

Etapa 1.1.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0))$

Etapa 1.1.2.11

Some $1$ e $0$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1)$

Etapa 1.1.2.12

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + 3 (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1)$

Etapa 1.1.2.13

Multiplique $\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ por $1$ .

$1 + 3 \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 1.1.2.14

Mova ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 3 \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.2.15

Combine $3$ e $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 + \frac{3}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.2.16

Cancele o fator comum.

$1 + \frac{3}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.2.17

Reescreva a expressão.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.2.1

Diferencie.

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Etapa 1.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$

Etapa 1.2.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ como ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Etapa 1.2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$0 - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 1.2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x - 1$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 1$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.2.2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Etapa 1.2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Etapa 1.2.2.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Etapa 1.2.2.7

Multiplique os expoentes em ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Etapa 1.2.2.7.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Etapa 1.2.2.7.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Etapa 1.2.2.7.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 2$ .

$0 - {(x - 1)}^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Etapa 1.2.2.7.2.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$0 - {(x - 1)}^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Etapa 1.2.2.7.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Etapa 1.2.2.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

Etapa 1.2.2.9

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Etapa 1.2.2.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Etapa 1.2.2.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.2.11.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))$

Etapa 1.2.2.11.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))$

Etapa 1.2.2.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))$

Etapa 1.2.2.13

Some $1$ e $0$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1)$

Etapa 1.2.2.14

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1)$

Etapa 1.2.2.15

Multiplique $\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ por $1$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 1.2.2.16

Mova ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.2.2.17

Combine $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ .

$0 - \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.2.2.18

Mova ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 1.2.2.19

Multiplique ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.2.19.1

Mova ${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$0 - \frac{2}{3 ({(x - 1)}^{\frac{4}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}$

Etapa 1.2.2.19.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

Etapa 1.2.2.19.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

Etapa 1.2.2.19.4

Some $4$ e $1$ .

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 1.2.3

Subtraia $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Etapa 2.3

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Nenhum valor encontrado que possa tornar a segunda derivada igual a $0$ .

Nenhum ponto de inflexão