Cálculo Exemplos

$y = {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(5 x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 5 x - 1$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x - 1$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Etapa 3.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Etapa 3.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Etapa 3.5.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Etapa 3.6

Combine frações.

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Etapa 3.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Etapa 3.6.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Etapa 3.6.3

Mova ${(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 3.8

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 3.10

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 3.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 + 0)$

Etapa 3.12

Combine frações.

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Etapa 3.12.1

Some $5$ e $0$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 5$

Etapa 3.12.2

Combine $\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ e $5$ .

$\frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$