Cálculo Exemplos

$\sin^{2} (x) \cdot \cos^{2} (x)$

Etapa 1

Escreva $\sin^{2} (x) \cdot \cos^{2} (x)$ como uma função.

$f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{2} (x)$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) \cdot \cos^{2} (x) d x$

Etapa 4

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (x)$ como $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \sin^{2} (x) \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Etapa 5

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (x)$ como $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ por $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{2 \cdot 2} d x$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{4} d x$

Etapa 7

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Etapa 8

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 8.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 8.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{4} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1})$

Etapa 10

Simplifique multiplicando.

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Etapa 10.1

Simplifique.

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Etapa 10.1.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 10.1.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{1}{8} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 10.2

Expanda $(1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1}))$ .

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Etapa 10.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{8} \int 1 (1 + \cos (u_{1})) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 10.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 10.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cdot 1 - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 10.2.4

Mova $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 10.2.5

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 10.2.6

Multiplique $\cos (u_{1})$ por $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 10.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 10.2.8

Fatore o negativo.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 10.2.9

Eleve $\cos (u_{1})$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 10.2.10

Eleve $\cos (u_{1})$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 10.2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - {\cos (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

Etapa 10.2.12

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 10.2.13

Subtraia $\cos (u_{1})$ de $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + 0 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 10.2.14

Subtraia $\cos^{2} (u_{1})$ de $0$ .

$\frac{1}{8} \int 1 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 11

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Etapa 12

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Etapa 13

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Etapa 14

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

Etapa 15

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Etapa 16

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Etapa 17

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Etapa 18

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 18.1

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 18.1.1

Diferencie $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Etapa 18.1.2

Como $2$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $2 u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 18.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 18.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 18.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

Etapa 19

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

Etapa 20

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Etapa 21

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)))$

Etapa 22

Simplifique.

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Etapa 22.1

Simplifique.

$\frac{1}{8} (u_{1} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Etapa 22.2

Simplifique.

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Etapa 22.2.1

Para escrever $u_{1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Etapa 22.2.2

Combine $u_{1}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1} \cdot 2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Etapa 22.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1} \cdot 2 - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Etapa 22.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot u_{1} - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Etapa 22.2.5

Subtraia $u_{1}$ de $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Etapa 23

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 23.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Etapa 23.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 u_{1})}{4}) + C$

Etapa 23.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

Etapa 24

Simplifique.

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Etapa 24.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 24.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 24.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{8} (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

Etapa 24.1.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$\frac{1}{8} (x - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

Etapa 24.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{8} (x - \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

Etapa 24.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{8} x + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

Etapa 24.3

Combine $\frac{1}{8}$ e $x$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

Etapa 24.4

Multiplique $\frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 x)}{4})$ .

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Etapa 24.4.1

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $\frac{\sin (4 x)}{4}$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{8 \cdot 4} + C$

Etapa 24.4.2

Multiplique $8$ por $4$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{32} + C$

Etapa 25

Reordene os termos.

$\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$

Etapa 26

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$