Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\sqrt{3}} 6 x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Etapa 1

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int_{0}^{\sqrt{3}} x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Etapa 2.1.5

Some $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Etapa 2.3.2

Some $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + {\sqrt{3}}^{2}$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = 1 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 2.5.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 1 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 2.5.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u_{upper} = 1 + 3^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.5.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.4.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 1 + 3^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.5.1.4.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = 1 + 3^{1}$

Etapa 2.5.1.5

Avalie o expoente.

$u_{upper} = 1 + 3$

Etapa 2.5.2

Some $1$ e $3$ .

$u_{upper} = 4$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$6 \int_{1}^{4} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 3

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$6 \int_{1}^{4} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$6 (\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u)$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $6$ .

$\frac{6}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Etapa 5.1.2

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Etapa 5.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Etapa 5.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Etapa 5.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{1} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Etapa 5.1.2.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$3 \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Etapa 5.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

Etapa 7

Combine $\frac{2}{3}$ e $u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Avalie $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ em $4$ e em $1$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 8.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 8.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 8.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Cancele o fator comum.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 8.2.3.2

Reescreva a expressão.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 8.2.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 8.2.5

Multiplique $2$ por $8$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 8.2.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

Etapa 8.2.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Etapa 8.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \frac{16 - 2}{3}$

Etapa 8.2.9

Subtraia $2$ de $16$ .

$3 (\frac{14}{3})$

Etapa 8.2.10

Combine $3$ e $\frac{14}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

Etapa 8.2.11

Multiplique $3$ por $14$ .

$\frac{42}{3}$

Etapa 8.2.12

Cancele o fator comum de $42$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.12.1

Fatore $3$ de $42$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

Etapa 8.2.12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.12.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3 (1)}$

Etapa 8.2.12.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1}$

Etapa 8.2.12.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{14}{1}$

Etapa 8.2.12.2.4

Divida $14$ por $1$ .

$14$

Etapa 9