Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{x} (1 + 2 t + 3 t^{2} + 4 t^{3}) d t$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int_{0}^{x} 1 + 2 t + 3 t^{2} + 4 t^{3} d t$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{x} d t + \int_{0}^{x} 2 t d t + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$t]_{0}^{x} + \int_{0}^{x} 2 t d t + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Etapa 4

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

$t]_{0}^{x} + 2 \int_{0}^{x} t d t + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t$ com relação a $t$ é $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Etapa 7

Como $3$ é constante com relação a $t$ , mova $3$ para fora da integral.

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 \int_{0}^{x} t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{3}$ e $t^{3}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Etapa 10

Como $4$ é constante com relação a $t$ , mova $4$ para fora da integral.

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 \int_{0}^{x} t^{3} d t$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{3}$ com relação a $t$ é $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{x})$

Etapa 12

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $t^{4}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Etapa 12.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Avalie $t$ em $x$ e em $0$ .

$(x) + 0 + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Etapa 12.2.2

Avalie $\frac{t^{2}}{2}$ em $x$ e em $0$ .

$x + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Etapa 12.2.3

Avalie $\frac{t^{3}}{3}$ em $x$ e em $0$ .

$x + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Etapa 12.2.4

Avalie $\frac{t^{4}}{4}$ em $x$ e em $0$ .

$x + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 12.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.5.1

Some $x$ e $0$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 12.2.5.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 12.2.5.3

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.5.3.1

Fatore $2$ de $0$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 12.2.5.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.5.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 12.2.5.3.2.2

Cancele o fator comum.

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 12.2.5.3.2.3

Reescreva a expressão.

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 12.2.5.3.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - 0) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 12.2.5.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} + 0) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 12.2.5.5

Some $\frac{x^{2}}{2}$ e $0$ .

$x + 2 \frac{x^{2}}{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 12.2.5.6

Combine $2$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x + \frac{2 x^{2}}{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 12.2.5.7

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.5.7.1

Cancele o fator comum.

$x + \frac{2 x^{2}}{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 12.2.5.7.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 12.2.5.8

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 12.2.5.9

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.5.9.1

Fatore $3$ de $0$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 12.2.5.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.5.9.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 12.2.5.9.2.2

Cancele o fator comum.

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 12.2.5.9.2.3

Reescreva a expressão.

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 12.2.5.9.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - 0) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 12.2.5.10

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} + 0) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 12.2.5.11

Some $\frac{x^{3}}{3}$ e $0$ .

$x + x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 12.2.5.12

Combine $3$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 12.2.5.13

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.5.13.1

Cancele o fator comum.

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 12.2.5.13.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 12.2.5.14

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0}{4})$

Etapa 12.2.5.15

Cancele o fator comum de $0$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.5.15.1

Fatore $4$ de $0$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Etapa 12.2.5.15.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.5.15.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Etapa 12.2.5.15.2.2

Cancele o fator comum.

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Etapa 12.2.5.15.2.3

Reescreva a expressão.

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0}{1})$

Etapa 12.2.5.15.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - 0)$

Etapa 12.2.5.16

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} + 0)$

Etapa 12.2.5.17

Some $\frac{x^{4}}{4}$ e $0$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 \frac{x^{4}}{4}$

Etapa 12.2.5.18

Combine $4$ e $\frac{x^{4}}{4}$ .

$x + x^{2} + x^{3} + \frac{4 x^{4}}{4}$

Etapa 12.2.5.19

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.5.19.1

Cancele o fator comum.

$x + x^{2} + x^{3} + \frac{4 x^{4}}{4}$

Etapa 12.2.5.19.2

Divida $x^{4}$ por $1$ .

$x + x^{2} + x^{3} + x^{4}$