Cálculo Exemplos

$\int {(x - 5)}^{2} e^{x} d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = {(x - 5)}^{2}$ e $d v = e^{x}$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x - 10) d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = 2 x - 10$ e $d v = e^{x}$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - \int e^{x} \cdot 2 d x)$

Etapa 3

Mova $2$ para a esquerda de $e^{x}$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - \int 2 e^{x} d x)$

Etapa 4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - (2 \int e^{x} d x))$

Etapa 5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 \int e^{x} d x)$

Etapa 6

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 (e^{x} + C))$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Reescreva ${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 (e^{x} + C))$ como $(x - 5) (x - 5) e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$ .

$(x - 5) (x - 5) e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Eleve $x - 5$ à potência de $1$ .

${(x - 5)}^{1} (x - 5) e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

Etapa 7.2.2

Eleve $x - 5$ à potência de $1$ .

${(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

Etapa 7.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(x - 5)}^{1 + 1} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

Etapa 7.2.4

Some $1$ e $1$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x}) - (- 2 e^{x}) + C$

Etapa 7.3.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - (2 x - 10) e^{x} + 2 e^{x} + C$

Etapa 7.3.3

Reordene os fatores em $- (2 x - 10) e^{x} + 2 e^{x}$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - e^{x} (2 x - 10) + 2 e^{x} + C$