Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{\sin (x)}{x}} + \frac{1 - \cos (x)}{x} + \frac{\tan (x)}{x}$

Etapa 1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Etapa 1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Etapa 1.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Etapa 1.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Etapa 2

Como $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ e $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ , aplique o teorema do confronto.

$2 (\frac{1}{1}) + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Etapa 3

Como $0 \leq \frac{1 - \cos (x)}{x} \leq \frac{x}{2}$ e $lim_{x \to 0} 0 = lim_{x \to 0} \frac{x}{2} = 0$ , aplique o teorema do confronto.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 4.1.2.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.3

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{0}{0}$

Etapa 4.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{0}{0}$

Etapa 4.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

Etapa 4.4

Divida $\sec^{2} (x)$ por $1$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

Etapa 5.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

Etapa 6

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \sec^{2} (0)$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 7.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \sec^{2} (0)$

Etapa 7.1.1.2

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 1 + 0 + \sec^{2} (0)$

Etapa 7.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + 0 + \sec^{2} (0)$

Etapa 7.1.3

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$2 + 0 + 1^{2}$

Etapa 7.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 + 0 + 1$

Etapa 7.2

Some $2$ e $0$ .

$2 + 1$

Etapa 7.3

Some $2$ e $1$ .

$3$