Cálculo Exemplos

$7^{\sqrt{x} + 2}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [7^{x^{\frac{1}{2}} + 2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = 7^{x}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

$\frac{d}{d u} [7^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $7$ .

$7^{u} \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{1}{2}} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 8.3

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 9

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Etapa 10

Combine frações.

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Etapa 10.1

Some $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.2

Combine $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $7^{x^{\frac{1}{2}} + 2}$ .

$\frac{7^{x^{\frac{1}{2}} + 2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \ln (7)$

Etapa 10.3

Combine $\frac{7^{x^{\frac{1}{2}} + 2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $\ln (7)$ .

$\frac{7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$