Cálculo Exemplos

$\int e^{2 θ} \sin (2 θ) d θ$

Etapa 1

Reordene $e^{2 θ}$ e $\sin (2 θ)$ .

$\int \sin (2 θ) e^{2 θ} d θ$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sin (2 θ)$ e $d v = e^{2 θ}$ .

$\sin (2 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - \int \frac{1}{2} e^{2 θ} (2 \cos (2 θ)) d θ$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2} \cdot 2$ é constante com relação a $θ$ , mova $\frac{1}{2} \cdot 2$ para fora da integral.

$\sin (2 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Etapa 4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 θ}$ .

$\sin (2 θ) \frac{e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Etapa 4.2

Combine $\sin (2 θ)$ e $\frac{e^{2 θ}}{2}$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Etapa 4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Etapa 4.4

Reordene $e^{2 θ}$ e $\cos (2 θ)$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} \int \cos (2 θ) e^{2 θ} d θ)$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \cos (2 θ)$ e $d v = e^{2 θ}$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\cos (2 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - \int \frac{1}{2} e^{2 θ} (- 2 \sin (2 θ)) d θ))$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2} \cdot - 2$ é constante com relação a $θ$ , mova $\frac{1}{2} \cdot - 2$ para fora da integral.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\cos (2 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - (\frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)))$

Etapa 7

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 θ}$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\cos (2 θ) \frac{e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)))$

Etapa 7.2

Combine $\cos (2 θ)$ e $\frac{e^{2 θ}}{2}$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)))$

Etapa 7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)))$

Etapa 7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2}{2} \cdot \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2}{2} (- (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ))$

Etapa 7.5

Multiplique $\frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{2}{2} (- (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ))$

Etapa 7.6

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} - \frac{2}{2} (- (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ))$

Etapa 7.6.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + 1 (\frac{2}{2}) (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

Etapa 7.6.3

Multiplique $\frac{2}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + \frac{2}{2} (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

Etapa 7.7

Multiplique $\frac{- 2}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + \frac{- 2 \cdot 2}{2 \cdot 2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ$

Etapa 7.8

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + \frac{- 4}{2 \cdot 2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ$

Etapa 7.8.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + \frac{- 4}{4} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ$

Etapa 8

Ao resolver $\int e^{2 θ} \sin (2 θ) d θ$ , descobrimos que $\int e^{2 θ} \sin (2 θ) d θ$ = $\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4}}{\frac{8}{4}}$ .

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 θ) e^{2 θ}$ .

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2 \cdot (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

Etapa 9.1.2

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cos (2 θ) e^{2 θ}$ .

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2 (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

Etapa 9.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2 (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{2 \cdot 2}}{\frac{8}{4}} + C$

Etapa 9.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2 (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{2 \cdot 2}}{\frac{8}{4}} + C$

Etapa 9.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{8}{4}} + C$

Etapa 9.1.3

Cancele o fator comum de $8$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4}} + C$

Etapa 9.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 (1)}} + C$

Etapa 9.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}} + C$

Etapa 9.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{2}{1}} + C$

Etapa 9.1.3.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{2} + C$

Etapa 9.1.4

Multiplique $\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{2} + C$

Etapa 9.1.5

Combine.

$\frac{2 (\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 9.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} + 2 (- \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 9.1.7

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} + 2 (- \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 9.1.7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + 2 (- \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 9.1.8

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} - 2 \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 9.1.9

Combine $- 2$ e $\frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{- 2 (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{2}}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 9.1.10

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.10.1

Fatore $2$ de $- 2 \cos (2 θ) e^{2 θ}$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{2 (- \cos (2 θ) e^{2 θ})}{2}}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 9.1.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.10.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{2 (- \cos (2 θ) e^{2 θ})}{2 (1)}}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 9.1.10.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{2 (- \cos (2 θ) e^{2 θ})}{2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 9.1.10.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{- \cos (2 θ) e^{2 θ}}{1}}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 9.1.10.2.4

Divida $- \cos (2 θ) e^{2 θ}$ por $1$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 9.1.11

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}}{4} + C$

Etapa 9.2

Reescreva $\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}}{4} + C$ como $\frac{1}{4} (\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}) + C$ .

$\frac{1}{4} (\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}) + C$