Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x + x^{2})$

Etapa 1

Reescreva $x \ln (x + x^{2})$ como $\frac{\ln (x + x^{2})}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x + x^{2})}{\frac{1}{x}}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Etapa 2.1.2

À medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir do lado direito, $\ln (x + x^{2})$ diminui sem limites.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Etapa 2.1.3

Como o numerador é uma constante e o denominador se aproxima de $0$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima do infinito.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 2.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 2.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x + x^{2})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + x^{2}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} (1 + 2 x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{x + x^{2}} (1 + 2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.6.2

Fatore $x$ de $x + x^{2}$ .

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Etapa 2.3.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x^{1} + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.6.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x \cdot 1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.6.2.3

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x \cdot 1 + x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.6.2.4

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x \cdot x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.6.3

Multiplique $1 + 2 x$ por $\frac{1}{x (1 + x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.7

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Etapa 2.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{- x^{- 2}}$

Etapa 2.3.9

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 + 2 x}{x (1 + x)} (- x^{2})$

Etapa 2.5

Combine $\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}$ e $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{(1 + 2 x) x^{2}}{x (1 + x)}$

Etapa 2.6

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 2.6.1

Fatore $x$ de $(1 + 2 x) x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x ((1 + 2 x) x)}{x (1 + x)}$

Etapa 2.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.6.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x ((1 + 2 x) x)}{x (1 + x)}$

Etapa 2.6.2.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{(1 + 2 x) x}{1 + x}$

Etapa 2.7

Reordene os fatores em $- \frac{(1 + 2 x) x}{1 + x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x (1 + 2 x)}{1 + x}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (1 + 2 x)}{1 + x}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x (1 + 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot lim_{x \to 0^{+}} 1 + 2 x}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

Etapa 3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

Etapa 3.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

Etapa 3.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

Etapa 3.7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

Etapa 3.8

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{0 \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{0 \cdot (1 + 2 \cdot 0)}{1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

Etapa 4.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{0 \cdot (1 + 2 \cdot 0)}{1 + 0}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Multiplique $0$ por $1 + 2 \cdot 0$ .

$- \frac{0}{1 + 0}$

Etapa 5.2

Some $1$ e $0$ .

$- \frac{0}{1}$

Etapa 5.3

Divida $0$ por $1$ .

$- 0$

Etapa 5.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0$