Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) \sin^{2} (x) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ d x$

Etapa 1

Avalie $\int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) \sin^{2} (x) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ$ .

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Etapa 1.1

Como $\sin^{2} (x)$ é constante com relação a $θ$ , mova $\sin^{2} (x)$ para fora da integral.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ d x$

Etapa 1.2

Deixe $u = \sin (θ)$ . Depois, $d u = \cos (θ) d θ$ , então, $\frac{1}{\cos (θ)} d u = d θ$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.2.1

Deixe $u = \sin (θ)$ . Encontre $\frac{d u}{d θ}$ .

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Etapa 1.2.1.1

Diferencie $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Etapa 1.2.1.2

A derivada de $\sin (θ)$ em relação a $θ$ é $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Etapa 1.2.2

Substitua o limite inferior por $θ$ em $u = \sin (θ)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Etapa 1.2.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.2.4

Substitua o limite superior por $θ$ em $u = \sin (θ)$ .

$u_{upper} = \sin (2 π)$

Etapa 1.2.5

Simplifique.

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Etapa 1.2.5.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$u_{upper} = \sin (0)$

Etapa 1.2.5.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u (\sin (x) - u) d u d x$

Etapa 1.3

Expanda $u (\sin (x) - u)$ .

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) + u (- u) d u d x$

Etapa 1.3.2

Reordene $u$ e $- 1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - 1 \cdot u \cdot u d u d x$

Etapa 1.3.3

Fatore o negativo.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u \cdot u) d u d x$

Etapa 1.3.4

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u^{1} u) d u d x$

Etapa 1.3.5

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u^{1} u^{1}) d u d x$

Etapa 1.3.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - u^{1 + 1} d u d x$

Etapa 1.3.7

Some $1$ e $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - u^{2} d u d x$

Etapa 1.3.8

Reordene $u \sin (x)$ e $- u^{2}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} - u^{2} + u \sin (x) d u d x$

Etapa 1.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (\int_{0}^{0} - u^{2} d u + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Etapa 1.5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- \int_{0}^{0} u^{2} d u + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Etapa 1.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{0}) + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Etapa 1.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Etapa 1.8

Como $\sin (x)$ é constante com relação a $u$ , mova $\sin (x)$ para fora da integral.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \int_{0}^{0} u d u) d x$

Etapa 1.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{0}) d x$

Etapa 1.10

Combine $\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \frac{u^{2}}{2}]_{0}^{0}) d x$

Etapa 1.11

Substitua e simplifique.

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Etapa 1.11.1

Avalie $\frac{u^{3}}{3}$ em $0$ e em $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) \frac{u^{2}}{2}]_{0}^{0}) d x$

Etapa 1.11.2

Avalie $\frac{u^{2}}{2}$ em $0$ e em $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Etapa 1.11.3

Simplifique.

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Etapa 1.11.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Etapa 1.11.3.2

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 1.11.3.2.1

Fatore $3$ de $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Etapa 1.11.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.11.3.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Etapa 1.11.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Etapa 1.11.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Etapa 1.11.3.2.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Etapa 1.11.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Etapa 1.11.3.4

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 1.11.3.4.1

Fatore $3$ de $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 (0)}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Etapa 1.11.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.11.3.4.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Etapa 1.11.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Etapa 1.11.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0}{1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Etapa 1.11.3.4.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - 0) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Etapa 1.11.3.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 + 0) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Etapa 1.11.3.6

Some $0$ e $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- 0 + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Etapa 1.11.3.7

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Etapa 1.11.3.8

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Etapa 1.11.3.9

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.11.3.9.1

Fatore $2$ de $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 (0)}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Etapa 1.11.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.11.3.9.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Etapa 1.11.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Etapa 1.11.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0}{1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Etapa 1.11.3.9.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Etapa 1.11.3.10

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0}{2})) d x$

Etapa 1.11.3.11

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.11.3.11.1

Fatore $2$ de $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 (0)}{2})) d x$

Etapa 1.11.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.11.3.11.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})) d x$

Etapa 1.11.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})) d x$

Etapa 1.11.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0}{1})) d x$

Etapa 1.11.3.11.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - 0)) d x$

Etapa 1.11.3.12

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 + 0)) d x$

Etapa 1.11.3.13

Some $0$ e $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) \cdot 0) d x$

Etapa 1.11.3.14

Multiplique $\sin (x)$ por $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + 0) d x$

Etapa 1.11.3.15

Some $0$ e $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \cdot 0 d x$

Etapa 1.11.3.16

Multiplique $\sin^{2} (x)$ por $0$ .

$\int_{0}^{π} 0 d x$

Etapa 2

Avalie $\int_{0}^{π} 0 d x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

A integral de $0$ com relação a $x$ é $0$ .

$0]_{0}^{π}$

Etapa 2.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Avalie $0$ em $π$ e em $0$ .

$(0) + 0$

Etapa 2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$