Cálculo Exemplos

$\frac{x}{e^{x}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x}{e^{x}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x}{e^{x}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x}{e^{x}} d x$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Negative o expoente de $e^{x}$ e o mova para fora do denominador.

$\int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x e^{x \cdot - 1} d x$

Etapa 4.2.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\int x e^{- 1 \cdot x} d x$

Etapa 4.2.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\int x e^{- x} d x$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x$

Etapa 7.2

Multiplique $\int e^{- x} d x$ por $1$ .

$x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x$

Etapa 8

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 8.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 8.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u$

Etapa 10

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$

Etapa 11

Reescreva $x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$ como $- x e^{- x} - e^{u} + C$ .

$- x e^{- x} - e^{u} + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$- x e^{- x} - e^{- x} + C$

Etapa 13

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ .

$F (x) =$ $- x e^{- x} - e^{- x} + C$