Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{2 π}{3}} \csc^{2} (\frac{1}{2} t) d t$

Etapa 1

Deixe $u = \frac{1}{2} t$ . Depois, $d u = \frac{1}{2} d t$ , então, $2 d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \frac{1}{2} t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\frac{1}{2} t$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Etapa 1.1.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{1}{2} t$ em relação a $t$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = \frac{1}{2} t$ .

$u_{lower} = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$

Etapa 1.3

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = \frac{1}{2} t$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (π)}{3}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 1.5.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Etapa 2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) \cdot 2 d u$

Etapa 2.3

Mova $2$ para a esquerda de $\csc^{2} (u)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 2 \csc^{2} (u) d u$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) d u$

Etapa 4

Como a derivada de $- \cot (u)$ é $\csc^{2} (u)$ , a integral de $\csc^{2} (u)$ é $- \cot (u)$ .

$2 (- \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}})$

Etapa 5

Avalie $- \cot (u)$ em $\frac{π}{3}$ e em $\frac{π}{6}$ .

$2 (- \cot (\frac{π}{3}) + \cot (\frac{π}{6}))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

O valor exato de $\cot (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}} + \cot (\frac{π}{6}))$

Etapa 6.2

O valor exato de $\cot (\frac{π}{6})$ é $\sqrt{3}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}}) + 2 \sqrt{3}$

Etapa 7.2

Multiplique $2 (- \frac{1}{\sqrt{3}})$ .

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Etapa 7.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \frac{1}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Etapa 7.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Etapa 7.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + 2 \sqrt{3}$

Etapa 8.1.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 8.1.2.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Etapa 8.1.2.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Etapa 8.1.2.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + 2 \sqrt{3}$

Etapa 8.1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + 2 \sqrt{3}$

Etapa 8.1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + 2 \sqrt{3}$

Etapa 8.1.2.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 8.1.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 2 \sqrt{3}$

Etapa 8.1.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 2 \sqrt{3}$

Etapa 8.1.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 \sqrt{3}$

Etapa 8.1.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.1.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 \sqrt{3}$

Etapa 8.1.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + 2 \sqrt{3}$

Etapa 8.1.2.6.5

Avalie o expoente.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3}$

Etapa 8.2

Para escrever $2 \sqrt{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 8.3

Combine $2 \sqrt{3}$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Etapa 8.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Etapa 8.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.5.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 8.5.2

Some $- 2 \sqrt{3}$ e $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Forma decimal:

$2.30940107 \dots$