Cálculo Exemplos

$\int \frac{- 3 x - 3}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Etapa 1

Fatore $3$ de $- 3 x - 3$ .

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Etapa 1.1

Fatore $3$ de $- 3 x$ .

$\int \frac{3 (- x) - 3}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Etapa 1.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\int \frac{3 (- x) + 3 (- 1)}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Etapa 1.3

Fatore $3$ de $3 (- x) + 3 (- 1)$ .

$\int \frac{3 (- x - 1)}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Etapa 2

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int \frac{- x - 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Etapa 3

Deixe $u = x^{2} + 2 x - 4$ . Depois, $d u = (2 x + 2) d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = (- x - 1) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = x^{2} + 2 x - 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $x^{2} + 2 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 4]$

Etapa 3.1.2

Diferencie.

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Etapa 3.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 3.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 3.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 3.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 3.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.1.4.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Etapa 3.1.4.2

Some $2 x + 2$ e $0$ .

$2 x + 2$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$3 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Etapa 4.3

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$3 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$3 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Etapa 6

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Etapa 8

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.1

Simplifique.

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Etapa 8.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 3$ .

$\frac{- 3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 8.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 8.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 8.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 8.2.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{3}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 8.2.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 8.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 8.2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 8.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Reescreva $- \frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $- \frac{3}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{3}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 10.2

Simplifique.

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Etapa 10.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 10.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 10.2.3

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{- 6}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 10.2.4

Cancele o fator comum de $- 6$ e $2$ .

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Etapa 10.2.4.1

Fatore $2$ de $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 10.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 10.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 10.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3}{1} u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 10.2.4.2.4

Divida $- 3$ por $1$ .

$- 3 u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 2 x - 4$ .

$- 3 {(x^{2} + 2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} + C$