Cálculo Exemplos

$y = 8 x^{- 7} + 2 x^{5} - \frac{5}{x^{3}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (8 x^{- 7} + 2 x^{5} - \frac{5}{x^{3}})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x^{- 7} + 2 x^{5} - \frac{5}{x^{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{- 7}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{- 7}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{- 7}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 7$ .

$8 (- 7 x^{- 8}) + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $- 7$ por $8$ .

$- 56 x^{- 8} + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{5}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{5}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 56 x^{- 8} + 2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- 56 x^{- 8} + 2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Etapa 3.3.3

Multiplique $5$ por $2$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{5}{x^{3}}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Etapa 3.4.2

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Etapa 3.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 3.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3}$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Etapa 3.4.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.4.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Etapa 3.4.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Etapa 3.4.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Etapa 3.4.7

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.7.1

Mova $x^{2}$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Etapa 3.4.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- 3 x^{2 - 6})$

Etapa 3.4.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- 3 x^{- 4})$

Etapa 3.4.8

Multiplique $- 3$ por $- 5$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} + 15 x^{- 4}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 56 \frac{1}{x^{8}} + 10 x^{4} + 15 x^{- 4}$

Etapa 3.5.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 56 \frac{1}{x^{8}} + 10 x^{4} + 15 \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 3.5.3

Combine os termos.

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Etapa 3.5.3.1

Combine $- 56$ e $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{- 56}{x^{8}} + 10 x^{4} + 15 \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 3.5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{56}{x^{8}} + 10 x^{4} + 15 \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 3.5.3.3

Combine $15$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{56}{x^{8}} + 10 x^{4} + \frac{15}{x^{4}}$

Etapa 3.5.4

Reordene os termos.

$10 x^{4} + \frac{15}{x^{4}} - \frac{56}{x^{8}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 10 x^{4} + \frac{15}{x^{4}} - \frac{56}{x^{8}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 10 x^{4} + \frac{15}{x^{4}} - \frac{56}{x^{8}}$