Cálculo Exemplos

$f (x, y) = x + y + x y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (f (x, y)) = \frac{d}{d x} (x + y + x y)$

Etapa 2

Multiplique $f$ por cada elemento da matriz.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)]$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y + x y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 + y' + \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Etapa 3.4.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$1 + y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 + y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + y' + x y' + y \cdot 1$

Etapa 3.4.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$1 + y' + x y' + y$

Etapa 3.5

Reordene os termos.

$x y' + y + 1 + y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{d}{d x} ((f x, f y)) = x y' + y + 1 + y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $x y' + y + 1 + y' = \frac{d}{d x ((f x, f y))}$ .

$x y' + y + 1 + y' = \frac{d}{d x ((f x, f y))}$

Etapa 5.2

Simplifique $\frac{d}{d x ((f x, f y))}$ .

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $d$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$x y' + y + 1 + y' = \frac{d}{d x (f x, f y)}$

Etapa 5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{x ((f x, f y))}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.2.1

Multiplique $x$ por cada elemento da matriz.

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x (f x), x (f y))}$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.2.2.1

Mova $x$ .

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x \cdot x f, x (f y))}$

Etapa 5.2.2.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x (f y))}$

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)}$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.3.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$x y' + 1 + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y$

Etapa 5.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x y' + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Etapa 5.4

Fatore $y'$ de $x y' + y'$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $x y'$ .

$y' x + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Etapa 5.4.2

Eleve $y'$ à potência de $1$ .

$y' x + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Etapa 5.4.3

Fatore $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' x + y' \cdot 1 = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Etapa 5.4.4

Fatore $y'$ de $y' x + y' \cdot 1$ .

$y' (x + 1) = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (x + 1) = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$ por $x + 1$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (x + 1) = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$ por $x + 1$ .

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Etapa 5.5.3.1.2

Multiplique $\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}$ por $\frac{1}{x + 1}$ .

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Etapa 5.5.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} - \frac{y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Etapa 5.5.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} - \frac{y}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}$

Etapa 5.5.3.2

Combine em uma fração.

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Etapa 5.5.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$

Etapa 5.5.3.2.2

Reordene os fatores em $\frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$ .

$y' = \frac{1}{(x + 1) (x^{2} f, x f y)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{(x + 1) (x^{2} f, x f y)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$