Cálculo Exemplos

$\frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Etapa 4

Fatore $\sqrt{x}$ de $x \sqrt{x} + \sqrt{x}$ .

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Etapa 4.1

Fatore $\sqrt{x}$ de $x \sqrt{x}$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x + \sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2

Multiplique por $1$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x + \sqrt{x} \cdot 1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.3

Fatore $\sqrt{x}$ de $\sqrt{x} x + \sqrt{x} \cdot 1$ .

$\int \frac{\sqrt{x} (x + 1)}{x^{2}} d x$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int \sqrt{x} (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{x} (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int \sqrt{x} (x + 1) x^{- 2} d x$

Etapa 5.2.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} (x + 1) x^{- 2} d x$

Etapa 5.2.3

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.3.1

Mova $x^{- 2}$ .

$\int x^{- 2} x^{\frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Etapa 5.2.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{- 2 + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Etapa 5.2.3.3

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Etapa 5.2.3.4

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Etapa 5.2.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int x^{\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2}} (x + 1) d x$

Etapa 5.2.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.3.6.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\int x^{\frac{- 4 + 1}{2}} (x + 1) d x$

Etapa 5.2.3.6.2

Some $- 4$ e $1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} (x + 1) d x$

Etapa 5.2.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int x^{- \frac{3}{2}} (x + 1) d x$

Etapa 6

Expanda $x^{- \frac{3}{2}} (x + 1)$ .

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x^{- \frac{3}{2}} x + x^{- \frac{3}{2}} \cdot 1 d x$

Etapa 6.2

Reordene $x^{- \frac{3}{2}}$ e $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} x + 1 \cdot x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 6.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} x^{1} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{- \frac{3}{2} + 1} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 6.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int x^{- \frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 6.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int x^{\frac{- 3 + 2}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 6.7

Some $- 3$ e $2$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 6.8

Multiplique $x^{- \frac{3}{2}}$ por $1$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int x^{- \frac{1}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Simplifique.

$2 x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 11.2

Simplifique.

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Etapa 11.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 11.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 12

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$