Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} \frac{3 x^{4} h - 5 x h^{2}}{h}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} 3 x^{4} h - 5 x h^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 3 x^{4} h - lim_{h \to 0} 5 x h^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o termo $3 x^{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{3 x^{4} lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5 x h^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o termo $5 x$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{3 x^{4} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 5 x lim_{h \to 0} h^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o expoente $2$ de $h^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{3 x^{4} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

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Etapa 1.1.2.5.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{3 x^{4} \cdot 0 - 1 \cdot 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.5.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{3 x^{4} \cdot 0 - 1 \cdot 5 x \cdot 0^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.6.1.1

Multiplique $3 x^{4} \cdot 0$ .

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Etapa 1.1.2.6.1.1.1

Multiplique $0$ por $3$ .

$\frac{0 x^{4} - 1 \cdot 5 x \cdot 0^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.6.1.1.2

Multiplique $0$ por $x^{4}$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 5 x \cdot 0^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.6.1.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{0 - 5 x \cdot 0^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.6.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0 - 5 x \cdot 0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.6.1.4

Multiplique $- 5 x \cdot 0$ .

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Etapa 1.1.2.6.1.4.1

Multiplique $0$ por $- 5$ .

$\frac{0 + 0 x}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.6.1.4.2

Multiplique $0$ por $x$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.6.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{3 x^{4} h - 5 x h^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 x^{4} h - 5 x h^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 x^{4} h - 5 x h^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} h - 5 x h^{2}$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [3 x^{4} h] + \frac{d}{d h} [- 5 x h^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 x^{4} h] + \frac{d}{d h} [- 5 x h^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d h} [3 x^{4} h]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Como $3 x^{4}$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $3 x^{4} h$ em relação a $h$ é $3 x^{4} \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 x^{4} \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- 5 x h^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 5 x h^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 x^{4} + \frac{d}{d h} [- 5 x h^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d h} [- 5 x h^{2}]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 5 x$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- 5 x h^{2}$ em relação a $h$ é $- 5 x \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 x^{4} - 5 x \frac{d}{d h} [h^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 x^{4} - 5 x (2 h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 x^{4} - 10 x h}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5

Reordene os termos.

$lim_{h \to 0} \frac{3 x^{4} - 10 h x}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 x^{4} - 10 h x}{1}$

Etapa 1.4

Divida $3 x^{4} - 10 h x$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} 3 x^{4} - 10 h x$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$lim_{h \to 0} 3 x^{4} - lim_{h \to 0} 10 h x$

Etapa 2.2

Avalie o limite de $3 x^{4}$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$3 x^{4} - lim_{h \to 0} 10 h x$

Etapa 2.3

Mova o termo $10 x$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$3 x^{4} - 1 \cdot 10 x lim_{h \to 0} h$

Etapa 3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$3 x^{4} - 1 \cdot 10 x \cdot 0$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$3 x^{4} - 10 x \cdot 0$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 10 x \cdot 0$ .

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $0$ por $- 10$ .

$3 x^{4} + 0 x$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $0$ por $x$ .

$3 x^{4} + 0$

Etapa 4.2

Some $3 x^{4}$ e $0$ .

$3 x^{4}$