Cálculo Exemplos

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{2} {(\frac{1}{3})}^{i - 1}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica infinita pode ser encontrada pela fórmula $\frac{a}{1 - r}$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua $a_{i}$ e $a_{i + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $\frac{1}{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$r = \frac{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de ${(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}$ e ${(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Fatore ${(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ de ${(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Etapa 2.2.2.2.4

Divida ${(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$ por $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Etapa 2.2.3

Some $i$ e $0$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - (i - 1)}$

Etapa 2.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - i - - 1}$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - i + 1}$

Etapa 2.2.5

Subtraia $i$ de $i$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{0 + 1}$

Etapa 2.2.6

Some $0$ e $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{1}$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

$r = \frac{1}{3}$

Etapa 3

Como $| r | < 1$ , a série converge.

Etapa 4

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

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Etapa 4.1

Substitua $1$ por $i$ em $\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ .

$a = \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{1 - 1}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$a = \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{0}$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$a = \frac{1}{2} \cdot \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Etapa 4.2.3

Combine.

$a = \frac{1 \cdot 1^{0}}{2 \cdot 3^{0}}$

Etapa 4.2.4

Multiplique $1$ por $1^{0}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.4.1

Multiplique $1$ por $1^{0}$ .

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Etapa 4.2.4.1.1

Eleve $1$ à potência de $1$ .

$a = \frac{1^{1} \cdot 1^{0}}{2 \cdot 3^{0}}$

Etapa 4.2.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$a = \frac{1^{1 + 0}}{2 \cdot 3^{0}}$

Etapa 4.2.4.2

Some $1$ e $0$ .

$a = \frac{1^{1}}{2 \cdot 3^{0}}$

Etapa 4.2.5

Simplifique $1^{1}$ .

$a = \frac{1}{2 \cdot 3^{0}}$

Etapa 4.2.6

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$a = \frac{1}{2}$

Etapa 5

Substitua os valores da razão e o primeiro termo na fórmula da soma.

$\frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{3}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Etapa 6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

Etapa 6.2.3

Subtraia $1$ de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Etapa 6.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{2} (1 (\frac{3}{2}))$

Etapa 6.4

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Etapa 6.5

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$ .

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Etapa 6.5.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3}{4}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{3}{4}$

Forma decimal:

$0.75$