Cálculo Exemplos

$\frac{x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x}{{(x + 1)}^{2}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Etapa 4

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 4.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 4.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Etapa 4.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{x {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Etapa 4.1.4

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Etapa 4.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Etapa 4.1.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Etapa 4.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.5.1

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Etapa 4.1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Etapa 4.1.5.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$x = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Etapa 4.1.5.2

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{2}$ e $x + 1$ .

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Etapa 4.1.5.2.1

Fatore $x + 1$ de $(B) {(x + 1)}^{2}$ .

$x = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 4.1.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1.5.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$x = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Etapa 4.1.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Etapa 4.1.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

Etapa 4.1.5.2.2.4

Divida $B (x + 1)$ por $1$ .

$x = A + B (x + 1)$

Etapa 4.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = A + B x + B \cdot 1$

Etapa 4.1.5.4

Multiplique $B$ por $1$ .

$x = A + B x + B$

Etapa 4.1.6

Reordene $A$ e $B x$ .

$x = B x + A + B$

Etapa 4.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 4.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = B$

Etapa 4.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 4.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = B$

$0 = A + B$

$1 = B$

$0 = A + B$

Etapa 4.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 4.3.1

Reescreva a equação como $B = 1$ .

$B = 1$

$0 = A + B$

Etapa 4.3.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $1$ em cada equação.

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Etapa 4.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $0 = A + B$ por $1$ .

$0 = A + 1$

$B = 1$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$0 = A + 1$

$B = 1$

$0 = A + 1$

$B = 1$

$0 = A + 1$

$B = 1$

Etapa 4.3.3

Resolva $A$ em $0 = A + 1$ .

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Etapa 4.3.3.1

Reescreva a equação como $A + 1 = 0$ .

$A + 1 = 0$

$B = 1$

Etapa 4.3.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

Etapa 4.3.4

Resolva o sistema de equações.

$A = - 1 B = 1$

Etapa 4.3.5

Liste todas as soluções.

$A = - 1, B = 1$

Etapa 4.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{- 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{x + 1}$

Etapa 4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 7

Deixe $u_{1} = x + 1$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u_{1} = x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 7.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 7.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 8

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 8.1

Mova ${u_{1}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 8.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 8.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 8.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{1}}^{- 2}$ com relação a $u_{1}$ é $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 10

Deixe $u_{2} = x + 1$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u_{2} = x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 10.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 10.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 10.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 10.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 11

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Simplifique.

$- - \frac{1}{u_{1}} + \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 12.2

Simplifique.

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Etapa 12.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{u_{1}} + \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 12.2.2

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $1$ .

$\frac{1}{u_{1}} + \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 13

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 13.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + 1$ .

$\frac{1}{x + 1} + \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 13.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 1$ .

$\frac{1}{x + 1} + \ln (| x + 1 |) + C$

Etapa 14

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{x}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{x + 1} + \ln (| x + 1 |) + C$