Cálculo Exemplos

$y = (5 x^{2} - 3) (7 x^{3} + x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 5 x^{2} - 3$ e $g (x) = 7 x^{3} + x$ .

$(5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [7 x^{3} + x] + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x^{3} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Etapa 1.2.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{3}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(5 x^{2} - 3) (7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$(5 x^{2} - 3) (7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Etapa 1.2.4

Multiplique $3$ por $7$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Etapa 1.2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 1.2.7

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 1.2.9

Multiplique $2$ por $5$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (10 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 1.2.10

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (10 x + 0)$

Etapa 1.2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.11.1

Some $10 x$ e $0$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (10 x)$

Etapa 1.2.11.2

Mova $10$ para a esquerda de $7 x^{3} + x$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + 10 \cdot (7 x^{3} + x) x$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (10 (7 x^{3}) + 10 x) x$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2}) + (5 x^{2} - 3) \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} (21 x^{2}) - 3 (21 x^{2}) + (5 x^{2} - 3) \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} (21 x^{2}) - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.6

Combine os termos.

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Etapa 1.3.6.1

Multiplique $21$ por $5$ .

$105 x^{2} x^{2} - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.6.2.1

Mova $x^{2}$ .

$105 (x^{2} x^{2}) - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$105 x^{2 + 2} - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.2.3

Some $2$ e $2$ .

$105 x^{4} - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.3

Multiplique $21$ por $- 3$ .

$105 x^{4} - 63 x^{2} + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$105 x^{4} - 63 x^{2} + 5 x^{2} - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.5

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$105 x^{4} - 63 x^{2} + 5 x^{2} - 3 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.6

Some $- 63 x^{2}$ e $5 x^{2}$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.7

Multiplique $7$ por $10$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{3} x + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 (x^{1} x^{3}) + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{1 + 3} + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.10

Some $1$ e $3$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 (x^{1} x)$

Etapa 1.3.6.12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 (x^{1} x^{1})$

Etapa 1.3.6.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 x^{1 + 1}$

Etapa 1.3.6.14

Some $1$ e $1$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 x^{2}$

Etapa 1.3.6.15

Some $105 x^{4}$ e $70 x^{4}$ .

$175 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 10 x^{2}$

Etapa 1.3.6.16

Some $- 58 x^{2}$ e $10 x^{2}$ .

$f' (x) = 175 x^{4} - 48 x^{2} - 3$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $175 x^{4} - 48 x^{2} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [175 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [175 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [175 x^{4}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $175$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $175 x^{4}$ em relação a $x$ é $175 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$175 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$175 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $175$ .

$700 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 48 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$700 x^{3} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$700 x^{3} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 48$ .

$700 x^{3} - 96 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$700 x^{3} - 96 x + 0$

Etapa 2.4.2

Some $700 x^{3} - 96 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 700 x^{3} - 96 x$