Cálculo Exemplos

$\int_{- 5}^{9} \frac{2 {(2 x + 9)}^{\frac{1}{3}}}{3} d x$

Etapa 1

Como $\frac{2}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{3}$ para fora da integral.

$\frac{2}{3} \int_{- 5}^{9} {(2 x + 9)}^{\frac{1}{3}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 2 x + 9$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 2 x + 9$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $2 x + 9$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 9]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.4.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 x + 9$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 5 + 9$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$u_{lower} = - 10 + 9$

Etapa 2.3.2

Some $- 10$ e $9$ .

$u_{lower} = - 1$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 x + 9$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 9 + 9$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Multiplique $2$ por $9$ .

$u_{upper} = 18 + 9$

Etapa 2.5.2

Some $18$ e $9$ .

$u_{upper} = 27$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 27$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{2}{3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} d u$

Etapa 3

Combine $u^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} \int_{- 1}^{27} \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u)$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{2}{6} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 5.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 5.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{27}$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Avalie $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ em $27$ e em $- 1$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Reescreva $27$ como $3^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.4

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.5

Combine $\frac{3}{4}$ e $81$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.6

Multiplique $3$ por $81$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.7

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}})$

Etapa 7.2.8

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Etapa 7.2.9

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Etapa 7.2.9.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{4})$

Etapa 7.2.10

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Etapa 7.2.11

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4})$

Etapa 7.2.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{243 - 3}{4}$

Etapa 7.2.13

Subtraia $3$ de $243$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{240}{4}$

Etapa 7.2.14

Cancele o fator comum de $240$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.14.1

Fatore $4$ de $240$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4}$

Etapa 7.2.14.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.14.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4 (1)}$

Etapa 7.2.14.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4 \cdot 1}$

Etapa 7.2.14.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{60}{1}$

Etapa 7.2.14.2.4

Divida $60$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 60$

Etapa 7.2.15

Combine $\frac{1}{3}$ e $60$ .

$\frac{60}{3}$

Etapa 7.2.16

Cancele o fator comum de $60$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.16.1

Fatore $3$ de $60$ .

$\frac{3 \cdot 20}{3}$

Etapa 7.2.16.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.16.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 20}{3 (1)}$

Etapa 7.2.16.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 1}$

Etapa 7.2.16.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{20}{1}$

Etapa 7.2.16.2.4

Divida $20$ por $1$ .

$20$

Etapa 8