Cálculo Exemplos

$\frac{d}{d x} (arcsec (\sin (x)))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = arcsec (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $arcsec (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}} \cos (x)$

Etapa 3

Combine $\frac{1}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os termos.

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{\sin^{2} (x) - 1} \sin (x)}$

Etapa 4.2

Reordene $\sin^{2} (x)$ e $- 1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 + \sin^{2} (x)} \sin (x)}$

Etapa 4.3

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 (1) + \sin^{2} (x)} \sin (x)}$

Etapa 4.4

Fatore $- 1$ de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))} \sin (x)}$

Etapa 4.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 (1 - \sin^{2} (x))} \sin (x)}$

Etapa 4.6

Reescreva $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ como $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- (1 - \sin^{2} (x))} \sin (x)}$

Etapa 4.7

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- \cos^{2} (x)} \sin (x)}$

Etapa 4.8

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.8.1

Reordene $- 1$ e $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{\cos^{2} (x) \cdot - 1} \sin (x)}$

Etapa 4.8.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) \sqrt{- 1} \sin (x)}$

Etapa 4.8.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) i \sin (x)}$

Etapa 4.9

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 4.9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) i \sin (x)}$

Etapa 4.9.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{i \sin (x)}$

Etapa 4.10

Separe as frações.

$\frac{1}{i} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 4.11

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$\frac{1}{i} \csc (x)$

Etapa 4.12

Multiplique o numerador e o denominador de $\frac{1}{i}$ pelo conjugado de $i$ para tornar o denominador real.

$\frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} \csc (x)$

Etapa 4.13

Multiplique.

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Etapa 4.13.1

Combine.

$\frac{1 i}{i i} \csc (x)$

Etapa 4.13.2

Multiplique $i$ por $1$ .

$\frac{i}{i i} \csc (x)$

Etapa 4.13.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.13.3.1

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$\frac{i}{i^{1} i} \csc (x)$

Etapa 4.13.3.2

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$\frac{i}{i^{1} i^{1}} \csc (x)$

Etapa 4.13.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{i}{i^{1 + 1}} \csc (x)$

Etapa 4.13.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{i}{i^{2}} \csc (x)$

Etapa 4.13.3.5

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{i}{- 1} \csc (x)$

Etapa 4.14

Mova o número negativo do denominador de $\frac{i}{- 1}$ .

$- 1 \cdot i \csc (x)$

Etapa 4.15

Reescreva $- 1 \cdot i$ como $- i$ .

$- i \csc (x)$