Cálculo Exemplos

$y = 12 \sin (w t + π)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $12$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $12 \sin (w t + π)$ em relação a $w$ é $12 \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$ .

$12 \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ é $f' (g (w)) g' (w)$ , em que $f (w) = \sin (w)$ e $g (w) = w t + π$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $w t + π$ .

$12 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$12 (\cos (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $w t + π$ .

$12 (\cos (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $w t + π$ com relação a $w$ é $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ .

$12 \cos (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π])$

Etapa 1.3.2

Como $t$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $w t$ em relação a $w$ é $t \frac{d}{d w} [w]$ .

$12 \cos (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π])$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ é $n w^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 \cos (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π])$

Etapa 1.3.4

Multiplique $t$ por $1$ .

$12 \cos (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π])$

Etapa 1.3.5

Como $π$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $π$ em relação a $w$ é $0$ .

$12 \cos (w t + π) (t + 0)$

Etapa 1.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.6.1

Some $t$ e $0$ .

$12 \cos (w t + π) t$

Etapa 1.3.6.2

Reordene os fatores de $12 \cos (w t + π) t$ .

$f' (w) = 12 t \cos (w t + π)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $12 t$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $12 t \cos (w t + π)$ em relação a $w$ é $12 t \frac{d}{d w} [\cos (w t + π)]$ .

$12 t \frac{d}{d w} [\cos (w t + π)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ é $f' (g (w)) g' (w)$ , em que $f (w) = \cos (w)$ e $g (w) = w t + π$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $w t + π$ .

$12 t (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$12 t (- \sin (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $w t + π$ .

$12 t (- \sin (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $w t + π$ com relação a $w$ é $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]))$

Etapa 2.3.3

Como $t$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $w t$ em relação a $w$ é $t \frac{d}{d w} [w]$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π]))$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ é $n w^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π]))$

Etapa 2.3.5

Multiplique $t$ por $1$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π]))$

Etapa 2.3.6

Como $π$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $π$ em relação a $w$ é $0$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t + 0))$

Etapa 2.3.7

Some $t$ e $0$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) t)$

Etapa 2.4

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$- 12 (t^{1} t) \sin (w t + π)$

Etapa 2.5

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$- 12 (t^{1} t^{1}) \sin (w t + π)$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 12 t^{1 + 1} \sin (w t + π)$

Etapa 2.7

Some $1$ e $1$ .

$f'' (w) = - 12 t^{2} \sin (w t + π)$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Como $- 12 t^{2}$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $- 12 t^{2} \sin (w t + π)$ em relação a $w$ é $- 12 t^{2} \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$ .

$- 12 t^{2} \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ é $f' (g (w)) g' (w)$ , em que $f (w) = \sin (w)$ e $g (w) = w t + π$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $w t + π$ .

$- 12 t^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$- 12 t^{2} (\cos (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $w t + π$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $w t + π$ com relação a $w$ é $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]))$

Etapa 3.3.2

Como $t$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $w t$ em relação a $w$ é $t \frac{d}{d w} [w]$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π]))$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ é $n w^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π]))$

Etapa 3.3.4

Multiplique $t$ por $1$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π]))$

Etapa 3.3.5

Como $π$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $π$ em relação a $w$ é $0$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t + 0))$

Etapa 3.3.6

Some $t$ e $0$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) t)$

Etapa 3.4

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$- 12 (t^{1} t^{2}) \cos (w t + π)$

Etapa 3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 12 t^{1 + 2} \cos (w t + π)$

Etapa 3.6

Some $1$ e $2$ .

$f''' (w) = - 12 t^{3} \cos (w t + π)$