Cálculo Exemplos

$x^{\frac{2}{3}} (20 - x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = 20 - x$ .

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [20 - x] + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $20 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x]) + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 2.2

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [- x] + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (- \frac{d}{d x} [x]) + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (- 1 \cdot 1) + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} \cdot - 1 + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 2.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 2.6.3

Reescreva $- 1 x^{\frac{2}{3}}$ como $- x^{\frac{2}{3}}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Etapa 6.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Etapa 7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Etapa 8

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 9

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{\frac{2}{3}} + 20 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 10.2

Combine os termos.

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Etapa 10.2.1

Combine $20$ e $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{20 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 10.2.2

Multiplique $20$ por $2$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 10.2.3

Combine $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ e $x$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 10.2.4

Mova $x^{\frac{1}{3}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x \cdot x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 10.2.5

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 10.2.5.1

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x)}{3}$

Etapa 10.2.5.2

Multiplique $x^{- \frac{1}{3}}$ por $x$ .

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Etapa 10.2.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x^{1})}{3}$

Etapa 10.2.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 1}}{3}$

Etapa 10.2.5.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}}}{3}$

Etapa 10.2.5.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{\frac{- 1 + 3}{3}}}{3}$

Etapa 10.2.5.5

Some $- 1$ e $3$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 10.2.6

Para escrever $- x^{\frac{2}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 10.2.7

Combine $- x^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- x^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 10.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 - 2 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 10.2.9

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 10.2.10

Subtraia $2 x^{\frac{2}{3}}$ de $- 3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- 5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 10.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 10.3

Reordene os termos.

$\frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$