Cálculo Exemplos

$x' = 3 x t^{2} - 3 t^{2}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial.

$\frac{d x}{d t} = 3 x t^{2} - 3 t^{2}$

Etapa 2

Separe as variáveis.

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Etapa 2.1

Fatore $3 t^{2}$ de $3 x t^{2} - 3 t^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $3 t^{2}$ de $3 x t^{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x) - 3 t^{2}$

Etapa 2.1.2

Fatore $3 t^{2}$ de $- 3 t^{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x) + 3 t^{2} (- 1)$

Etapa 2.1.3

Fatore $3 t^{2}$ de $3 t^{2} (x) + 3 t^{2} (- 1)$ .

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x - 1)$

Etapa 2.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x - 1} (3 t^{2} (x - 1))$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = 3 \frac{1}{x - 1} (t^{2} (x - 1))$

Etapa 2.3.2

Combine $3$ e $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} (t^{2} (x - 1))$

Etapa 2.3.3

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 2.3.3.1

Fatore $x - 1$ de $t^{2} (x - 1)$ .

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} ((x - 1) t^{2})$

Etapa 2.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} ((x - 1) t^{2})$

Etapa 2.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = 3 t^{2}$

Etapa 2.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{x - 1} d x = 3 t^{2} d t$

Etapa 3

Integre os dois lados.

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Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{x - 1} d x = \int 3 t^{2} d t$

Etapa 3.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Deixe $u = x - 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.2.1.1

Deixe $u = x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.2.1.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 3.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 3.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 3 t^{2} d t$

Etapa 3.2.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Como $3$ é constante com relação a $t$ , mova $3$ para fora da integral.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 \int t^{2} d t$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

Etapa 3.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.3.3.1

Reescreva $3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ como $3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique.

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Etapa 3.3.3.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

Etapa 3.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

Etapa 3.3.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 1 t^{3} + C_{2}$

Etapa 3.3.3.2.3

Multiplique $t^{3}$ por $1$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = t^{3} + C_{2}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| x - 1 |) = t^{3} + C$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| x - 1 |)} = e^{t^{3} + C}$

Etapa 4.2

Reescreva $\ln (| x - 1 |) = t^{3} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{t^{3} + C} = | x - 1 |$

Etapa 4.3

Resolva $x$ .

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Etapa 4.3.1

Reescreva a equação como $| x - 1 | = e^{t^{3} + C}$ .

$| x - 1 | = e^{t^{3} + C}$

Etapa 4.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm e^{t^{3} + C}$

Etapa 4.3.3

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = \pm e^{t^{3} + C} + 1$

Etapa 5

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 5.1

Reescreva $e^{t^{3} + C}$ como $e^{t^{3}} e^{C}$ .

$x = \pm e^{t^{3}} e^{C} + 1$

Etapa 5.2

Reordene $e^{t^{3}}$ e $e^{C}$ .

$x = \pm e^{C} e^{t^{3}} + 1$

Etapa 5.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$x = C e^{t^{3}} + 1$