Cálculo Exemplos

$\int \frac{5 x}{4 x + 4 x^{2}} d x$

Etapa 1

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int \frac{x}{4 x + 4 x^{2}} d x$

Etapa 2

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 2.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 2.1.1

Fatore a fração.

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Etapa 2.1.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x + 4 x^{2}$ .

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Etapa 2.1.1.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x$ .

$\frac{x}{4 x (1) + 4 x^{2}}$

Etapa 2.1.1.1.2

Fatore $4 x$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{x}{4 x (1) + 4 x (x)}$

Etapa 2.1.1.1.3

Fatore $4 x$ de $4 x (1) + 4 x (x)$ .

$\frac{x}{4 x (1 + x)}$

Etapa 2.1.1.2

Reduza a expressão $\frac{x}{4 x (1 + x)}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{4 x (1 + x)}$

Etapa 2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4 (1 + x)}$

Etapa 2.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Etapa 2.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $4 (1 + x)$ .

$\frac{1 (4 (1 + x))}{4 (1 + x)} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Etapa 2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (4 (1 + x))}{4 (1 + x)} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Etapa 2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (1 + x)}{1 + x} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Etapa 2.1.5

Cancele o fator comum de $1 + x$ .

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Etapa 2.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (1 + x)}{1 + x} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Etapa 2.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Etapa 2.1.6

Cancele o fator comum de $1 + x$ .

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Etapa 2.1.6.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (4 (1 + x))}{1 + x}$

Etapa 2.1.6.2

Divida $(A) \cdot (4)$ por $1$ .

$1 = (A) \cdot (4)$

Etapa 2.1.7

Mova $4$ para a esquerda de $A$ .

$1 = 4 A$

Etapa 2.2

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 2.2.1

Reescreva a equação como $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

Etapa 2.2.2

Divida cada termo em $4 A = 1$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Divida cada termo em $4 A = 1$ por $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 2.2.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 2.3

Replace each of the partial fraction coefficients in $\frac{A}{1 + x}$ with the values found for and $A$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{1 + x}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + x}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{1 + x}$ .

$5 \int \frac{1}{4 (1 + x)} d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$5 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + x} d x)$

Etapa 4

Combine $\frac{1}{4}$ e $5$ .

$\frac{5}{4} \int \frac{1}{1 + x} d x$

Etapa 5

Deixe $u = 1 + x$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 1 + x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 5.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{5}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{5}{4} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 7

Simplifique.

$\frac{5}{4} \ln (| u |) + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x$ .

$\frac{5}{4} \ln (| 1 + x |) + C$