Cálculo Exemplos

$\frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{x \sqrt{x}} d x$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x}} \cdot (d x) d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Etapa 4.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int \frac{1}{x^{1} x^{\frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Etapa 4.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{1}{x^{1 + \frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Etapa 4.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Etapa 4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2 + 1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Etapa 4.2.4

Some $2$ e $1$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot (d x) d x$

Etapa 4.3

Combine $d$ e $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot x d x$

Etapa 4.4

Combine $\frac{d}{x^{\frac{3}{2}}}$ e $x$ .

$\int \frac{d x}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Etapa 4.5

Mova $x^{1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}} d x$

Etapa 4.6

Multiplique $x^{\frac{3}{2}}$ por $x^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.6.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2} - 1}} d x$

Etapa 4.6.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} d x$

Etapa 4.6.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} d x$

Etapa 4.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int \frac{d}{x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} d x$

Etapa 4.6.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3 - 2}{2}}} d x$

Etapa 4.6.5.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 5

Como $d$ é constante com relação a $x$ , mova $d$ para fora da integral.

$d \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 6

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$d \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 6.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$d \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 6.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$d \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$d (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Reescreva $d (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ como $d \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ .

$d \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8.2

Mova $2$ para a esquerda de $d$ .

$2 d x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 9

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}} \cdot (d x)$ .

$F (x) =$ $2 d x^{\frac{1}{2}} + C$