Cálculo Exemplos

$\int \frac{8 \arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}} d x$

Etapa 1

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$8 \int \frac{\arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$8 \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$8 \int \frac{\arctan (u_{1})}{(1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}) \cdot 2} d u_{1}$

Etapa 3.2

Mova $2$ para a esquerda de $1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$8 \int \frac{\arctan (u_{1})}{2 (1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2})} d u_{1}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$8 (\frac{1}{2} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $8$ .

$\frac{8}{2} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{1} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Etapa 5.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$4 \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Etapa 6

Deixe $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . Depois, $d u_{2} = \frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} d u_{1}$ , então, $- d u_{2} = \frac{- 1}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Diferencie $\arctan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})]$

Etapa 6.1.2

A derivada de $\arctan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

Etapa 6.1.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1}$

Etapa 6.1.4

Reorganize os termos.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$4 \int u_{2} d u_{2}$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Reescreva $4 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ como $4 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ .

$4 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 8.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 8.2.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 8.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 8.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 8.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{1} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 8.2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2 {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 9

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 9.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\arctan (u_{1})$ .

$2 {\arctan (u_{1})}^{2} + C$

Etapa 9.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$2 {\arctan (2 x)}^{2} + C$