Cálculo Exemplos

$\int 10 x \sin (5 x^{2} + 2) d x$

Etapa 1

Como $10$ é constante com relação a $x$ , mova $10$ para fora da integral.

$10 \int x \sin (5 x^{2} + 2) d x$

Etapa 2

Deixe $u = 5 x^{2} + 2$ . Depois, $d u = 10 x d x$ , então, $\frac{1}{10} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 5 x^{2} + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $5 x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 2]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$10 x + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $10 x$ e $0$ .

$10 x$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$10 \int \sin (u) \frac{1}{10} d u$

Etapa 3

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{10}$ .

$10 \int \frac{\sin (u)}{10} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{10}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{10}$ para fora da integral.

$10 (\frac{1}{10} \int \sin (u) d u)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{10}$ e $10$ .

$\frac{10}{10} \int \sin (u) d u$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $10$ .

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10}{10} \int \sin (u) d u$

Etapa 5.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int \sin (u) d u$

Etapa 5.3

Multiplique $\int \sin (u) d u$ por $1$ .

$\int \sin (u) d u$

Etapa 6

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$- \cos (u) + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x^{2} + 2$ .

$- \cos (5 x^{2} + 2) + C$