Cálculo Exemplos

$\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$

Etapa 1

Escreva $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ como uma função.

$f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Etapa 4

Deixe $u = e^{x} + 1$ . Depois, $d u = e^{x} d x$ , então, $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = e^{x} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{x} + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $e^{x}$ e $0$ .

$e^{x}$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{x} + 1$ .

$\ln (| e^{x} + 1 |) + C$

Etapa 7

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

$F (x) =$ $\ln (| e^{x} + 1 |) + C$