Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 t + 2}{\sqrt{t + 1}} d t$

Etapa 1

Fatore $2$ de $2 t + 2$ .

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Etapa 1.1

Fatore $2$ de $2 t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t) + 2}{\sqrt{t + 1}} d t]$

Etapa 1.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t) + 2 (1)}{\sqrt{t + 1}} d t]$

Etapa 1.3

Fatore $2$ de $2 (t) + 2 (1)$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}} d t]$

Etapa 2

Multiplique $\frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}}$ por $\frac{\sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}} \cdot \frac{\sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1}} d t]$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.1.1

Multiplique $\frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}}$ por $\frac{\sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1} \sqrt{t + 1}} d t]$

Etapa 3.1.2

Eleve $\sqrt{t + 1}$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{1} \sqrt{t + 1}} d t]$

Etapa 3.1.3

Eleve $\sqrt{t + 1}$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{1} {\sqrt{t + 1}}^{1}} d t]$

Etapa 3.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{1 + 1}} d t]$

Etapa 3.1.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{2}} d t]$

Etapa 3.1.6

Reescreva ${\sqrt{t + 1}}^{2}$ como $t + 1$ .

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Etapa 3.1.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t + 1}$ como ${(t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{({(t + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d t]$

Etapa 3.1.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d t]$

Etapa 3.1.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{\frac{2}{2}}} d t]$

Etapa 3.1.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{\frac{2}{2}}} d t]$

Etapa 3.1.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{1}} d t]$

Etapa 3.1.6.5

Simplifique.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{t + 1} d t]$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $t + 1$ .

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{t + 1} d t]$

Etapa 3.2.2

Divida $2 \sqrt{t + 1}$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} 2 \sqrt{t + 1} d t]$

Etapa 4

Calcule a derivada de $\int_{1}^{x^{2} + 1} 2 \sqrt{t + 1} d t$ com relação a $x$ usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1] (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(2 x + \frac{d}{d x} [1]) (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

Etapa 5.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(2 x + 0) (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

Etapa 5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

Etapa 5.4.2

Some $1$ e $1$ .

$2 x (2 \sqrt{x^{2} + 2})$

Etapa 5.4.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x \sqrt{x^{2} + 2}$