Cálculo Exemplos

$\int 5 x (2 x + 5) (x - 3) d x$

Etapa 1

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int (x (2 x + 5)) (x - 3) d x$

Etapa 2

Deixe $u = x - 3$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Deixe $u = x - 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

$1$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$5 \int (u + 3) (2 (u + 3) + 5) u d u$

$5 \int (u + 3) (2 (u + 3) + 5) u d u$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 \int (u + 3) (2 u + 2 \cdot 3 + 5) u d u$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 \int (u (2 u + 2 \cdot 3 + 5) + 3 (2 u + 2 \cdot 3 + 5)) u d u$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 \int (u (2 u + 2 \cdot 3) + u \cdot 5 + 3 (2 u + 2 \cdot 3 + 5)) u d u$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$5 \int (u (2 u) + u (2 \cdot 3) + u \cdot 5 + 3 (2 u + 2 \cdot 3 + 5)) u d u$

Etapa 3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$5 \int (u (2 u) + u (2 \cdot 3) + u \cdot 5 + 3 (2 u + 2 \cdot 3) + 3 \cdot 5) u d u$

Etapa 3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$5 \int (u (2 u) + u (2 \cdot 3) + u \cdot 5 + 3 (2 u) + 3 (2 \cdot 3) + 3 \cdot 5) u d u$

Etapa 3.7

Aplique a propriedade distributiva.

$5 \int (u (2 u) + u (2 \cdot 3) + u \cdot 5) u + (3 (2 u) + 3 (2 \cdot 3) + 3 \cdot 5) u d u$

Etapa 3.8

Aplique a propriedade distributiva.

$5 \int (u (2 u) + u (2 \cdot 3)) u + u \cdot 5 u + (3 (2 u) + 3 (2 \cdot 3) + 3 \cdot 5) u d u$

Etapa 3.9

Aplique a propriedade distributiva.

$5 \int u (2 u) u + u (2 \cdot 3) u + u \cdot 5 u + (3 (2 u) + 3 (2 \cdot 3) + 3 \cdot 5) u d u$

Etapa 3.10

Aplique a propriedade distributiva.

$5 \int u (2 u) u + u (2 \cdot 3) u + u \cdot 5 u + (3 (2 u) + 3 (2 \cdot 3)) u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.11

Aplique a propriedade distributiva.

$5 \int u (2 u) u + u (2 \cdot 3) u + u \cdot 5 u + 3 (2 u) u + 3 (2 \cdot 3) u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.12

Reordene $u$ e $2$ .

$5 \int 2 \cdot u \cdot u \cdot u + u (2 \cdot 3) u + u \cdot 5 u + 3 (2 u) u + 3 (2 \cdot 3) u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.13

Mova $u$ .

$5 \int 2 \cdot u \cdot u \cdot u + 2 \cdot 3 u \cdot u + u \cdot 5 u + 3 (2 u) u + 3 (2 \cdot 3) u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.14

Reordene $u$ e $5$ .

$5 \int 2 \cdot u \cdot u \cdot u + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 \cdot u \cdot u + 3 (2 u) u + 3 (2 \cdot 3) u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.15

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$5 \int 2 (u^{1} u) u + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.16

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$5 \int 2 (u^{1} u^{1}) u + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 \int 2 u^{1 + 1} u + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.18

Some $1$ e $1$ .

$5 \int 2 u^{2} u + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.19

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$5 \int 2 (u^{2} u^{1}) + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.20

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 \int 2 u^{2 + 1} + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.21

Some $2$ e $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.22

Multiplique $2$ por $3$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.23

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 (u^{1} u) + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.24

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 (u^{1} u^{1}) + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.25

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{1 + 1} + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.26

Some $1$ e $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{2} + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.27

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{2} + 5 (u^{1} u) + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.28

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{2} + 5 (u^{1} u^{1}) + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.29

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{2} + 5 u^{1 + 1} + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.30

Some $1$ e $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{2} + 5 u^{2} + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.31

Some $6 u^{2}$ e $5 u^{2}$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.32

Multiplique $3$ por $2$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.33

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 (u^{1} u) + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.34

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 (u^{1} u^{1}) + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.35

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{1 + 1} + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.36

Some $1$ e $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{2} + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.37

Multiplique $3$ por $2$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{2} + 6 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.38

Multiplique $6$ por $3$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{2} + 18 u + 3 \cdot 5 u d u$

Etapa 3.39

Multiplique $3$ por $5$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{2} + 18 u + 15 u d u$

Etapa 3.40

Some $18 u$ e $15 u$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{2} + 33 u d u$

Etapa 3.41

Some $11 u^{2}$ e $6 u^{2}$ .

$5 \int 2 u^{3} + 17 u^{2} + 33 u d u$

$5 \int 2 u^{3} + 17 u^{2} + 33 u d u$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$5 (\int 2 u^{3} d u + \int 17 u^{2} d u + \int 33 u d u)$

Etapa 5

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$5 (2 \int u^{3} d u + \int 17 u^{2} d u + \int 33 u d u)$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$5 (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 17 u^{2} d u + \int 33 u d u)$

Etapa 7

Como $17$ é constante com relação a $u$ , mova $17$ para fora da integral.

$5 (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 17 \int u^{2} d u + \int 33 u d u)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$5 (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 17 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 33 u d u)$

Etapa 9

Como $33$ é constante com relação a $u$ , mova $33$ para fora da integral.

$5 (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 17 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 33 \int u d u)$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$5 (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 17 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 33 (\frac{1}{2} u^{2} + C))$

Etapa 11

Simplifique.

$5 (\frac{u^{4}}{2} + \frac{17 u^{3}}{3} + \frac{33 u^{2}}{2}) + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 3$ .

$5 (\frac{{(x - 3)}^{4}}{2} + \frac{17 {(x - 3)}^{3}}{3} + \frac{33 {(x - 3)}^{2}}{2}) + C$

Etapa 13

Reordene os termos.

$5 (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{4} + \frac{17}{3} {(x - 3)}^{3} + \frac{33}{2} {(x - 3)}^{2}) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$