Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} + a x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + a x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [a x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [a x]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [a x]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [a x]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a x$ em relação a $x$ é $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + a \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} + a \cdot 1$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $a$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + a$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} + a$ .

$3 x^{2} + a$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} + a = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} + a = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $a$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} = - a$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $3 x^{2} = - a$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = - a$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- a}{3}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- a}{3}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- a}{3}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} = - \frac{a}{3}$

Etapa 2.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Etapa 2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Etapa 2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Etapa 2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x^{3} + a x$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ por $x$ .

${(\sqrt{- \frac{a}{3}})}^{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Reescreva ${\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3}$ como $\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}}$ .

$\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.1.2.1.2

Aplique a regra do produto a $- \frac{a}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{3} {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.1.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\sqrt{- {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.1.2.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{a}{3}$ .

$\sqrt{- \frac{a^{3}}{3^{3}}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.1.2.1.5

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\sqrt{- \frac{a^{3}}{27}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.1.2.1.6

Reescreva $- \frac{a^{3}}{27}$ como ${(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})$ .

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Etapa 4.1.2.1.6.1

Fatore a potência perfeita $a^{2}$ de $a^{3}$ .

$\sqrt{- \frac{a^{2} a}{27}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.1.2.1.6.2

Fatore a potência perfeita $3^{2}$ de $27$ .

$\sqrt{- \frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.1.2.1.6.3

Reorganize a fração $\frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}$ .

$\sqrt{- ({(\frac{a}{3})}^{2} \frac{a}{3})} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.1.2.1.6.4

Reordene $- 1$ e ${(\frac{a}{3})}^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot - 1 \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.1.2.1.6.5

Adicione parênteses.

$\sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.1.2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.1.2.1.8

Combine $\frac{a}{3}$ e $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.1.2.2

Para escrever $a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 4.1.2.3

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1.2.3.1

Combine $a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + \frac{a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot 3}{3}$

Etapa 4.1.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot 3}{3}$

Etapa 4.1.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.2.4.1

Mova $3$ para a esquerda de $a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}} + 3 \cdot (a (\sqrt{- \frac{a}{3}}))}{3}$

Etapa 4.1.2.4.2

Some $a \sqrt{- \frac{a}{3}}$ e $3 a \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

$\frac{4 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $- \sqrt{- \frac{a}{3}}$ por $x$ .

${(- \sqrt{- \frac{a}{3}})}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

${(- 1)}^{3} {\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- {\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.2.2.3

Reescreva ${\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3}$ como $\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}}$ .

$- \sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.2.2.4

Aplique a regra do produto a $- \frac{a}{3}$ .

$- \sqrt{{(- 1)}^{3} {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.2.2.5

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- \sqrt{- {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.2.2.6

Aplique a regra do produto a $\frac{a}{3}$ .

$- \sqrt{- \frac{a^{3}}{3^{3}}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.2.2.7

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$- \sqrt{- \frac{a^{3}}{27}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.2.2.8

Reescreva $- \frac{a^{3}}{27}$ como ${(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})$ .

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Etapa 4.2.2.8.1

Fatore a potência perfeita $a^{2}$ de $a^{3}$ .

$- \sqrt{- \frac{a^{2} a}{27}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.2.2.8.2

Fatore a potência perfeita $3^{2}$ de $27$ .

$- \sqrt{- \frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.2.2.8.3

Reorganize a fração $\frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}$ .

$- \sqrt{- ({(\frac{a}{3})}^{2} \frac{a}{3})} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.2.2.8.4

Reordene $- 1$ e ${(\frac{a}{3})}^{2}$ .

$- \sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot - 1 \frac{a}{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.2.2.8.5

Adicione parênteses.

$- \sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.2.2.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$- (\frac{a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}}) + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.2.2.10

Combine $\frac{a}{3}$ e $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

$- \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 4.2.2.11

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} - a \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(\sqrt{- \frac{a}{3}}, \frac{4 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}), (- \sqrt{- \frac{a}{3}}, - \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} - a \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Etapa 5