Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{3^{x}}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{3^{x}} d x$

Etapa 3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1

Negative o expoente de $3^{x}$ e o mova para fora do denominador.

$\int 1 {(3^{x})}^{- 1} d x$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Multiplique os expoentes em ${(3^{x})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 \cdot 3^{x \cdot - 1} d x$

Etapa 3.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\int 1 \cdot 3^{- 1 \cdot x} d x$

Etapa 3.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\int 1 \cdot 3^{- x} d x$

Etapa 3.2.2

Multiplique $3^{- x}$ por $1$ .

$\int 3^{- x} d x$

Etapa 4

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - 3^{u} d u$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int 3^{u} d u$

Etapa 6

A integral de $3^{u}$ com relação a $u$ é $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$- (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$

Etapa 7

Reescreva $- (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$ como $- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$ .

$- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} + C$

Etapa 9

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} + C$