Cálculo Exemplos

$\frac{d}{d x} ((x^{2} + 4) (2 x^{3} + 7 x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} + 4$ e $g (x) = 2 x^{3} + 7 x$ .

$(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7 x] + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + 7 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$(x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Etapa 2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(x^{2} + 4) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$(x^{2} + 4) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x]) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Etapa 2.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x]) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Etapa 2.5

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x]) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7 \cdot 1) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Etapa 2.7

Multiplique $7$ por $1$ .

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 x^{3} + 7 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 x^{3} + 7 x) (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 2.10

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 x^{3} + 7 x) (2 x + 0)$

Etapa 2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.11.1

Some $2 x$ e $0$ .

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 x^{3} + 7 x) (2 x)$

Etapa 2.11.2

Mova $2$ para a esquerda de $2 x^{3} + 7 x$ .

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + 2 \cdot (2 x^{3} + 7 x) x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1