Cálculo Exemplos

$y = 3 x^{- 2} + 4 x^{- 1} + x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{- 2} + 4 x^{- 1} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{- 2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{- 2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$3 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$- 6 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [4 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{- 1}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{- 1}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$- 6 x^{- 3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- 6 x^{- 3} + 4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 6 x^{- 3} - 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 6 x^{- 3} - 4 x^{- 2} + 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Reordene os termos.

$- 4 x^{- 2} - 6 x^{- 3} + 1$

Etapa 1.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{2}} - 6 x^{- 3} + 1$

Etapa 1.5.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 4}{x^{2}} - 6 x^{- 3} + 1$

Etapa 1.5.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{x^{2}} - 6 x^{- 3} + 1$

Etapa 1.5.2.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{4}{x^{2}} - 6 \frac{1}{x^{3}} + 1$

Etapa 1.5.2.5

Combine $- 6$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{4}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{3}} + 1$

Etapa 1.5.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{4}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}} + 1$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{4}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{4}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$- 4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$- 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 4 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 4 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 4 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 4 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$- 4 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.10

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{6}{x^{3}}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$8 x^{- 3} - 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$8 x^{- 3} - 6 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{3}$ .

$8 x^{- 3} - 6 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{3}$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.7

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.7.1

Mova $x^{2}$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 x^{- 3} - 6 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.8

Multiplique $- 3$ por $- 6$ .

$8 x^{- 3} + 18 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$8 x^{- 3} + 18 x^{- 4} + 0$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{x^{3}} + 18 x^{- 4} + 0$

Etapa 2.5.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{x^{3}} + 18 \frac{1}{x^{4}} + 0$

Etapa 2.5.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Combine $8$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{8}{x^{3}} + 18 \frac{1}{x^{4}} + 0$

Etapa 2.5.3.2

Combine $18$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{8}{x^{3}} + \frac{18}{x^{4}} + 0$

Etapa 2.5.3.3

Some $\frac{8}{x^{3}} + \frac{18}{x^{4}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{8}{x^{3}} + \frac{18}{x^{4}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{8}{x^{3}} + \frac{18}{x^{4}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{8}{x^{3}}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 3.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{3}$ .

$8 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Etapa 3.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$8 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Etapa 3.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{3}$ .

$8 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$8 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Etapa 3.2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Etapa 3.2.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$8 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Etapa 3.2.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$8 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Etapa 3.2.7

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.7.1

Mova $x^{2}$ .

$8 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Etapa 3.2.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Etapa 3.2.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$8 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Etapa 3.2.8

Multiplique $- 3$ por $8$ .

$- 24 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{18}{x^{4}}$ em relação a $x$ é $18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{4}$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{4}$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Etapa 3.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Etapa 3.3.5.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Etapa 3.3.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Etapa 3.3.7

Multiplique $x^{- 8}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.7.1

Mova $x^{3}$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Etapa 3.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 24 x^{- 4} + 18 (- 4 x^{3 - 8})$

Etapa 3.3.7.3

Subtraia $8$ de $3$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- 4 x^{- 5})$

Etapa 3.3.8

Multiplique $- 4$ por $18$ .

$- 24 x^{- 4} - 72 x^{- 5}$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 24 \frac{1}{x^{4}} - 72 x^{- 5}$

Etapa 3.4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 24 \frac{1}{x^{4}} - 72 \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 3.4.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Combine $- 24$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 24}{x^{4}} - 72 \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 3.4.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{24}{x^{4}} - 72 \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 3.4.3.3

Combine $- 72$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$- \frac{24}{x^{4}} + \frac{- 72}{x^{5}}$

Etapa 3.4.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f''' (x) = - \frac{24}{x^{4}} - \frac{72}{x^{5}}$