Cálculo Exemplos

$\frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{2 x + 3}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 x + 3}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 5

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (2 x + 3) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 6

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x + 3) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 6.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int (2 x + 3) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int (2 x + 3) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7

Expanda $(2 x + 3) x^{- \frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int 2 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 2 x^{1 - \frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int 2 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int 2 x^{\frac{2 - 1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7.6

Subtraia $1$ de $2$ .

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7.7

Reordene $2 x^{\frac{1}{2}}$ e $3 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int 3 x^{- \frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 9

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 11

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 12

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique.

$6 x^{\frac{1}{2}} + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Etapa 13.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + 2 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Etapa 13.2.2

Combine $2$ e $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Etapa 13.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Etapa 13.3

Reordene os termos.

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 14

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$